微分積分学準備例

$9 x^{3} - 13 x + 4$

ステップ 1

有理根検定を用いて $9 x^{3} - 13 x + 4$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

ステップ 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.\overline{3}, \pm 4, \pm 0.\overline{4}, \pm 1.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{2}, \pm 0.\overline{6}$

ステップ 1.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

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ステップ 1.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$9 \cdot 1^{3} - 13 \cdot 1 + 4$

ステップ 1.3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$9 \cdot 1 - 13 \cdot 1 + 4$

ステップ 1.3.3

$9$ に $1$ をかけます。

$9 - 13 \cdot 1 + 4$

ステップ 1.3.4

$- 13$ に $1$ をかけます。

$9 - 13 + 4$

ステップ 1.3.5

$9$ から $13$ を引きます。

$- 4 + 4$

ステップ 1.3.6

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{9 x^{3} - 13 x + 4}{x - 1}$

ステップ 1.5

$9 x^{3} - 13 x + 4$ を $x - 1$ で割ります。

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ステップ 1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$13 x$

$4$

ステップ 1.5.2

被除数 $9 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$9 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$

ステップ 1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$9 x^{2}$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			+	$9 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

ステップ 1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $9 x^{3} - 9 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$9 x^{2}$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$

ステップ 1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$9 x^{2}$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

ステップ 1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$9 x^{2}$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$

ステップ 1.5.7

被除数 $9 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$9 x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$

ステップ 1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$9 x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$

ステップ 1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $9 x^{2} - 9 x$ の符号をすべて変更します。

				$9 x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$

ステップ 1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$9 x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$4 x$

ステップ 1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$9 x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$4 x$	+	$4$

ステップ 1.5.12

被除数 $- 4 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$9 x^{2}$	+	$9 x$	-	$4$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$4 x$	+	$4$

ステップ 1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$9 x^{2}$	+	$9 x$	-	$4$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

ステップ 1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 4 x + 4$ の符号をすべて変更します。

				$9 x^{2}$	+	$9 x$	-	$4$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

ステップ 1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$9 x^{2}$	+	$9 x$	-	$4$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	-	$4$
										$0$

ステップ 1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$9 x^{2} + 9 x - 4$

ステップ 1.6

$9 x^{3} - 13 x + 4$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 1) (9 x^{2} + 9 x - 4)$

ステップ 2

群による因数分解。

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ステップ 2.1

群による因数分解。

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ステップ 2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 9 \cdot - 4 = - 36$ で和が $b = 9$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.1.1

$9$ を $9 x$ で因数分解します。

$(x - 1) (9 x^{2} + 9 (x) - 4)$

ステップ 2.1.1.2

$9$ を $- 3$ プラス $12$ に書き換える

$(x - 1) (9 x^{2} + (- 3 + 12) x - 4)$

ステップ 2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 12 x - 4)$

ステップ 2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x - 1) ((9 x^{2} - 3 x) + 12 x - 4)$

ステップ 2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x - 1) (3 x (3 x - 1) + 4 (3 x - 1))$

ステップ 2.1.3

最大公約数 $3 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 1) ((3 x - 1) (3 x + 4))$

ステップ 2.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 1) (3 x - 1) (3 x + 4)$

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