微分積分学準備例

$7 x^{3} - 43 x^{2} + 69 x - 9$

ステップ 1

有理根検定を用いて $7 x^{3} - 43 x^{2} + 69 x - 9$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 7$

ステップ 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 9, \pm 1.\overline{285714}, \pm 3, \pm 0.\overline{428571}$

ステップ 1.3

$0.\overline{142857}$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $0.\overline{142857}$ は多項式の根です。

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ステップ 1.3.1

$0.\overline{142857}$ を多項式に代入します。

$7 \cdot {0.\overline{142857}}^{3} - 43 \cdot {0.\overline{142857}}^{2} + 69 \cdot 0.\overline{142857} - 9$

ステップ 1.3.2

$0.\overline{142857}$ を $3$ 乗します。

$7 \cdot 0.00291545 - 43 \cdot {0.\overline{142857}}^{2} + 69 \cdot 0.\overline{142857} - 9$

ステップ 1.3.3

$7$ に $0.00291545$ をかけます。

$0.02040816 - 43 \cdot {0.\overline{142857}}^{2} + 69 \cdot 0.\overline{142857} - 9$

ステップ 1.3.4

$0.\overline{142857}$ を $2$ 乗します。

$0.02040816 - 43 \cdot 0.02040816 + 69 \cdot 0.\overline{142857} - 9$

ステップ 1.3.5

$- 43$ に $0.02040816$ をかけます。

$0.02040816 - 0.87755102 + 69 \cdot 0.\overline{142857} - 9$

ステップ 1.3.6

$0.02040816$ から $0.87755102$ を引きます。

$- 0.85714285 + 69 \cdot 0.\overline{142857} - 9$

ステップ 1.3.7

$69$ に $0.\overline{142857}$ をかけます。

$- 0.85714285 + 9.\overline{857142} - 9$

ステップ 1.3.8

$- 0.85714285$ と $9.\overline{857142}$ をたし算します。

$9 - 9$

ステップ 1.3.9

$9$ から $9$ を引きます。

$0$

ステップ 1.4

$0.\overline{142857}$ は既知の根なので、多項式を $7 x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{7 x^{3} - 43 x^{2} + 69 x - 9}{7 x - 1}$

ステップ 1.5

$7 x^{3} - 43 x^{2} + 69 x - 9$ を $7 x - 1$ で割ります。

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ステップ 1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$7 x$

$1$

$7 x^{3}$

$43 x^{2}$

$69 x$

$9$

ステップ 1.5.2

被除数 $7 x^{3}$ の最高次項を除数 $7 x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$43 x^{2}$	+	$69 x$	-	$9$

ステップ 1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$43 x^{2}$	+	$69 x$	-	$9$
			+	$7 x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $7 x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$43 x^{2}$	+	$69 x$	-	$9$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$43 x^{2}$	+	$69 x$	-	$9$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$42 x^{2}$

ステップ 1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$43 x^{2}$	+	$69 x$	-	$9$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$42 x^{2}$	+	$69 x$

ステップ 1.5.7

被除数 $- 42 x^{2}$ の最高次項を除数 $7 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$43 x^{2}$	+	$69 x$	-	$9$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$42 x^{2}$	+	$69 x$

ステップ 1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$43 x^{2}$	+	$69 x$	-	$9$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$42 x^{2}$	+	$69 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$6 x$

ステップ 1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 42 x^{2} + 6 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$43 x^{2}$	+	$69 x$	-	$9$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$42 x^{2}$	+	$69 x$
					+	$42 x^{2}$	-	$6 x$

ステップ 1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$43 x^{2}$	+	$69 x$	-	$9$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$42 x^{2}$	+	$69 x$
					+	$42 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$63 x$

ステップ 1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$43 x^{2}$	+	$69 x$	-	$9$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$42 x^{2}$	+	$69 x$
					+	$42 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$63 x$	-	$9$

ステップ 1.5.12

被除数 $63 x$ の最高次項を除数 $7 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$43 x^{2}$	+	$69 x$	-	$9$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$42 x^{2}$	+	$69 x$
					+	$42 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$63 x$	-	$9$

ステップ 1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$43 x^{2}$	+	$69 x$	-	$9$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$42 x^{2}$	+	$69 x$
					+	$42 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$63 x$	-	$9$
							+	$63 x$	-	$9$

ステップ 1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $63 x - 9$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$43 x^{2}$	+	$69 x$	-	$9$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$42 x^{2}$	+	$69 x$
					+	$42 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$63 x$	-	$9$
							-	$63 x$	+	$9$

ステップ 1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$43 x^{2}$	+	$69 x$	-	$9$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$42 x^{2}$	+	$69 x$
					+	$42 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$63 x$	-	$9$
							-	$63 x$	+	$9$
										$0$

ステップ 1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 6 x + 9$

ステップ 1.6

$7 x^{3} - 43 x^{2} + 69 x - 9$ を因数の集合として書き換えます。

$(7 x - 1) (x^{2} - 6 x + 9)$

ステップ 2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$(7 x - 1) (x^{2} - 6 x + 3^{2})$

ステップ 2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

ステップ 2.3

多項式を書き換えます。

$(7 x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2})$

ステップ 2.4

$a = x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(7 x - 1) {(x - 3)}^{2}$

微分積分学準備 例

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