微分積分学準備例

$f (x) = x^{5} - 16 x$

ステップ 1

$x^{5} - 16 x$ が $0$ に等しいとします。

$x^{5} - 16 x = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x$ を $x^{5} - 16 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

$x$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} - 16 x = 0$

ステップ 2.1.1.2

$x$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 16 = 0$

ステップ 2.1.1.3

$x$ を $x \cdot x^{4} + x \cdot - 16$ で因数分解します。

$x (x^{4} - 16) = 0$

ステップ 2.1.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x ({(x^{2})}^{2} - 16) = 0$

ステップ 2.1.3

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x ({(x^{2})}^{2} - 4^{2}) = 0$

ステップ 2.1.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 4$ です。

$x ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4)) = 0$

ステップ 2.1.5

因数分解。

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ステップ 2.1.5.1

簡約します。

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ステップ 2.1.5.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x ((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

ステップ 2.1.5.1.2

因数分解。

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ステップ 2.1.5.1.2.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$x ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

ステップ 2.1.5.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$x ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)) = 0$

ステップ 2.1.5.2

不要な括弧を削除します。

$x (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.4

$x^{2} + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2} + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 4 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x^{2} = - 4$

ステップ 2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

ステップ 2.4.2.3

$\pm \sqrt{- 4}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

ステップ 2.4.2.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

ステップ 2.4.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

ステップ 2.4.2.3.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

ステップ 2.4.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 2$

ステップ 2.4.2.3.6

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 2 i$

ステップ 2.4.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.4.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2 i$

ステップ 2.4.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2 i$

ステップ 2.4.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2 i, - 2 i$

ステップ 2.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.6

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.7

最終解は $x (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2 i, - 2 i, - 2, 2$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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