微分積分学準備例

$f (x) = x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

ステップ 1

$x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$ が $0$ に等しいとします。

$x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$x^{5} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

ステップ 2.1.2

$x$ を $x^{5} + 2 x^{3} + x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$x$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

ステップ 2.1.2.4

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

ステップ 2.1.2.5

$x$ を $x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ で因数分解します。

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

ステップ 2.1.2.6

$x$ を $x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ で因数分解します。

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

ステップ 2.1.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

ステップ 2.1.4

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$x (u^{2} + 2 u + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

ステップ 2.1.5

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1.5.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x (u^{2} + 2 u + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

ステップ 2.1.5.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

ステップ 2.1.5.3

多項式を書き換えます。

$x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

ステップ 2.1.5.4

$a = u$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$x {(u + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

ステップ 2.1.6

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

ステップ 2.1.7

$7$ を $7 x^{4} + 14 x^{2} + 7$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.7.1

$7$ を $7 x^{4}$ で因数分解します。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 14 x^{2} + 7 = 0$

ステップ 2.1.7.2

$7$ を $14 x^{2}$ で因数分解します。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 = 0$

ステップ 2.1.7.3

$7$ を $7$ で因数分解します。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

ステップ 2.1.7.4

$7$ を $7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2})$ で因数分解します。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

ステップ 2.1.7.5

$7$ を $7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1)$ で因数分解します。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

ステップ 2.1.8

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

ステップ 2.1.9

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

ステップ 2.1.10

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1.10.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.1.10.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

ステップ 2.1.10.3

多項式を書き換えます。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.1.10.4

$a = u$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(u + 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.1.11

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.1.12

${(x^{2} + 1)}^{2}$ を $x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.12.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ を $x {(x^{2} + 1)}^{2}$ で因数分解します。

${(x^{2} + 1)}^{2} x + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.1.12.2

${(x^{2} + 1)}^{2}$ を $7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ で因数分解します。

${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7 = 0$

ステップ 2.1.12.3

${(x^{2} + 1)}^{2}$ を ${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7$ で因数分解します。

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

$x + 7 = 0$

ステップ 2.3

${(x^{2} + 1)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について ${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

$x^{2} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 1 = 0$

ステップ 2.3.2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} = - 1$

ステップ 2.3.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 2.3.2.2.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i$

ステップ 2.3.2.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.2.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i$

ステップ 2.3.2.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i$

ステップ 2.3.2.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i, - i$

ステップ 2.4

$x + 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x + 7$ が $0$ に等しいとします。

$x + 7 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$x = - 7$

ステップ 2.5

最終解は ${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = i, - i, - 7$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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