微分積分学準備例

$f (x) = 2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2})$

ステップ 1

$2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2})$ が $0$ に等しいとします。

$2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2}) = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$x^{2}$ と $\frac{13}{2}$ をまとめます。

$2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{x^{2} \cdot 13}{2} - 4 x - \frac{7}{2}) = 0$

ステップ 2.1.1.2

$13$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13 x^{2}}{2} - 4 x - \frac{7}{2}) = 0$

ステップ 2.1.2

分配則を当てはめます。

$2 x^{4} + 2 (- 8 x^{3}) + 2 (- \frac{13 x^{2}}{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

ステップ 2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$- 8$ に $2$ をかけます。

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 2 (- \frac{13 x^{2}}{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

ステップ 2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.2.1

$- \frac{13 x^{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 2 \frac{- 13 x^{2}}{2} + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

ステップ 2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 2 \frac{- 13 x^{2}}{2} + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

ステップ 2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

ステップ 2.1.3.3

$- 4$ に $2$ をかけます。

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

ステップ 2.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.4.1

$- \frac{7}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x + 2 (\frac{- 7}{2}) = 0$

ステップ 2.1.3.4.2

共通因数を約分します。

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x + 2 (\frac{- 7}{2}) = 0$

ステップ 2.1.3.4.3

式を書き換えます。

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x - 7 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

項を再分類します。

$- 16 x^{3} - 8 x + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

ステップ 2.2.2

$- 8 x$ を $- 16 x^{3} - 8 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$- 8 x$ を $- 16 x^{3}$ で因数分解します。

$- 8 x (2 x^{2}) - 8 x + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

ステップ 2.2.2.2

$- 8 x$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$- 8 x (2 x^{2}) - 8 x \cdot 1 + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

ステップ 2.2.2.3

$- 8 x$ を $- 8 x (2 x^{2}) - 8 x (1)$ で因数分解します。

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

ステップ 2.2.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 {(x^{2})}^{2} - 13 x^{2} - 7 = 0$

ステップ 2.2.4

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} - 13 u - 7 = 0$

ステップ 2.2.5

群による因数分解。

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ステップ 2.2.5.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 7 = - 14$ で和が $b = - 13$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1.1

$- 13$ を $- 13 u$ で因数分解します。

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} - 13 u - 7 = 0$

ステップ 2.2.5.1.2

$- 13$ を $1$ プラス $- 14$ に書き換える

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + (1 - 14) u - 7 = 0$

ステップ 2.2.5.1.3

分配則を当てはめます。

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + 1 u - 14 u - 7 = 0$

ステップ 2.2.5.1.4

$u$ に $1$ をかけます。

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + u - 14 u - 7 = 0$

ステップ 2.2.5.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.5.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + u - 14 u - 7 = 0$

ステップ 2.2.5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + u (2 u + 1) - 7 (2 u + 1) = 0$

ステップ 2.2.5.3

最大公約数 $2 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + (2 u + 1) (u - 7) = 0$

ステップ 2.2.6

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7) = 0$

ステップ 2.2.7

$2 x^{2} + 1$ を $- 8 x (2 x^{2} + 1) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7)$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.7.1

$2 x^{2} + 1$ を $- 8 x (2 x^{2} + 1)$ で因数分解します。

$(2 x^{2} + 1) (- 8 x) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7) = 0$

ステップ 2.2.7.2

$2 x^{2} + 1$ を $(2 x^{2} + 1) (- 8 x) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7)$ で因数分解します。

$(2 x^{2} + 1) (- 8 x + x^{2} - 7) = 0$

ステップ 2.2.8

項を並べ替えます。

$(2 x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x - 7) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x^{2} + 1 = 0$

$x^{2} - 8 x - 7 = 0$

ステップ 2.4

$2 x^{2} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$2 x^{2} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x^{2} + 1 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $2 x^{2} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x^{2} = - 1$

ステップ 2.4.2.2

$2 x^{2} = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$2 x^{2} = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

ステップ 2.4.2.4

$\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.4.1

$- \frac{1}{2}$ を $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.4.1.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

ステップ 2.4.2.4.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

ステップ 2.4.2.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

ステップ 2.4.2.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.4.2.4.4

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.4.2.4.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.4.2.4.6

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

ステップ 2.4.2.4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.4.2.4.7.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 2.4.2.4.7.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 2.4.2.4.7.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 2.4.2.4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.4.2.4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 2.4.2.4.7.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 2.4.2.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.4.2.4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.4.2.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.4.2.4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.4.2.4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 2.4.2.4.7.6.5

指数を求めます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.4.2.4.8

$i$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.4.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.4.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.4.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.5

$x^{2} - 8 x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{2} - 8 x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 8 x - 7 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} - 8 x - 7 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 8$ 、および $c = - 7$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3

簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 7$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $- 7$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 28}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.3

$64$ と $28$ をたし算します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{92}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.4

$92$ を $2^{2} \cdot 23$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.2.3.1.4.1

$4$ を $92$ で因数分解します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (23)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{2}$

ステップ 2.5.2.3.3

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{2}$ を簡約します。

$x = 4 \pm \sqrt{23}$

ステップ 2.5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 4 + \sqrt{23}, 4 - \sqrt{23}$

ステップ 2.6

最終解は $(2 x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x - 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}, 4 + \sqrt{23}, 4 - \sqrt{23}$

ステップ 3

微分積分学準備 例

微分積分学準備例