微分積分学準備例

$f (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15$

ステップ 1

$4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15$ が $0$ に等しいとします。

$4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

有理根検定を用いて $4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

ステップ 2.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 15, \pm 3.75, \pm 7.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5$

ステップ 2.1.1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

$4 {(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2} + 1 + 15$

ステップ 2.1.1.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$4 \cdot - 1 - 12 {(- 1)}^{2} + 1 + 15$

ステップ 2.1.1.3.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 - 12 {(- 1)}^{2} + 1 + 15$

ステップ 2.1.1.3.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 4 - 12 \cdot 1 + 1 + 15$

ステップ 2.1.1.3.5

$- 12$ に $1$ をかけます。

$- 4 - 12 + 1 + 15$

ステップ 2.1.1.3.6

$- 4$ から $12$ を引きます。

$- 16 + 1 + 15$

ステップ 2.1.1.3.7

$- 16$ と $1$ をたし算します。

$- 15 + 15$

ステップ 2.1.1.3.8

$- 15$ と $15$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.1.1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 1}$

ステップ 2.1.1.5

$4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 2.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$15$

ステップ 2.1.1.5.2

被除数 $4 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$4 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$

ステップ 2.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			+	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x^{3} + 4 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$	-	$x$

ステップ 2.1.1.5.7

被除数 $- 16 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$4 x^{2}$	-	$16 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$	-	$x$

ステップ 2.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$4 x^{2}$	-	$16 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$	-	$x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$

ステップ 2.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 16 x^{2} - 16 x$ の符号をすべて変更します。

				$4 x^{2}$	-	$16 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$	-	$x$
					+	$16 x^{2}$	+	$16 x$

ステップ 2.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$4 x^{2}$	-	$16 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$	-	$x$
					+	$16 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$

ステップ 2.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$4 x^{2}$	-	$16 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$	-	$x$
					+	$16 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	+	$15$

ステップ 2.1.1.5.12

被除数 $15 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$4 x^{2}$	-	$16 x$	+	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$	-	$x$
					+	$16 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	+	$15$

ステップ 2.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$4 x^{2}$	-	$16 x$	+	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$	-	$x$
					+	$16 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	+	$15$
							+	$15 x$	+	$15$

ステップ 2.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $15 x + 15$ の符号をすべて変更します。

				$4 x^{2}$	-	$16 x$	+	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$	-	$x$
					+	$16 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	+	$15$
							-	$15 x$	-	$15$

ステップ 2.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$4 x^{2}$	-	$16 x$	+	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$	-	$x$
					+	$16 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	+	$15$
							-	$15 x$	-	$15$
										$0$

ステップ 2.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$4 x^{2} - 16 x + 15$

ステップ 2.1.1.6

$4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 1) (4 x^{2} - 16 x + 15) = 0$

ステップ 2.1.2

群による因数分解。

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ステップ 2.1.2.1

群による因数分解。

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ステップ 2.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot 15 = 60$ で和が $b = - 16$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.2.1.1.1

$- 16$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$(x + 1) (4 x^{2} - 16 x + 15) = 0$

ステップ 2.1.2.1.1.2

$- 16$ を $- 6$ プラス $- 10$ に書き換える

$(x + 1) (4 x^{2} + (- 6 - 10) x + 15) = 0$

ステップ 2.1.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(x + 1) (4 x^{2} - 6 x - 10 x + 15) = 0$

ステップ 2.1.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x + 1) ((4 x^{2} - 6 x) - 10 x + 15) = 0$

ステップ 2.1.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x + 1) (2 x (2 x - 3) - 5 (2 x - 3)) = 0$

ステップ 2.1.2.1.3

最大公約数 $2 x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 1) ((2 x - 3) (2 x - 5)) = 0$

ステップ 2.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 1) (2 x - 3) (2 x - 5) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$2 x - 5 = 0$

ステップ 2.3

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.4

$2 x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$2 x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 3 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $2 x - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$2 x = 3$

ステップ 2.4.2.2

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 2.5

$2 x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$2 x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 5 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $2 x - 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$2 x = 5$

ステップ 2.5.2.2

$2 x = 5$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1

$2 x = 5$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{5}{2}$

ステップ 2.6

最終解は $(x + 1) (2 x - 3) (2 x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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