微分積分学準備例

$f (x) = 2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52$

ステップ 1

x切片を求めます。

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ステップ 1.1

x切片を求めるために、 $0$ を $y$ に代入し $x$ を解きます。

$0 = 2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52$

ステップ 1.2

方程式を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式を $2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52 = 0$ として書き換えます。

$2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

項を再分類します。

$- 5 x^{3} - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

ステップ 1.2.2.2

$- 5 x^{2}$ を $- 5 x^{3} - 20 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$- 5 x^{2}$ を $- 5 x^{3}$ で因数分解します。

$- 5 x^{2} x - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

ステップ 1.2.2.2.2

$- 5 x^{2}$ を $- 20 x^{2}$ で因数分解します。

$- 5 x^{2} x - 5 x^{2} \cdot 4 + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

ステップ 1.2.2.2.3

$- 5 x^{2}$ を $- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (4)$ で因数分解します。

$- 5 x^{2} (x + 4) + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

ステップ 1.2.2.3

有理根検定を用いて $2 x^{4} + 115 x - 52$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.3.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 1.2.2.3.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 52, \pm 26, \pm 2, \pm 13, \pm 4, \pm 6.5$

ステップ 1.2.2.3.3

$- 4$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 4$ は多項式の根です。

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ステップ 1.2.2.3.3.1

$- 4$ を多項式に代入します。

$2 {(- 4)}^{4} + 115 \cdot - 4 - 52$

ステップ 1.2.2.3.3.2

$- 4$ を $4$ 乗します。

$2 \cdot 256 + 115 \cdot - 4 - 52$

ステップ 1.2.2.3.3.3

$2$ に $256$ をかけます。

$512 + 115 \cdot - 4 - 52$

ステップ 1.2.2.3.3.4

$115$ に $- 4$ をかけます。

$512 - 460 - 52$

ステップ 1.2.2.3.3.5

$512$ から $460$ を引きます。

$52 - 52$

ステップ 1.2.2.3.3.6

$52$ から $52$ を引きます。

$0$

ステップ 1.2.2.3.4

$- 4$ は既知の根なので、多項式を $x + 4$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{4} + 115 x - 52}{x + 4}$

ステップ 1.2.2.3.5

$2 x^{4} + 115 x - 52$ を $x + 4$ で割ります。

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ステップ 1.2.2.3.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

ステップ 1.2.2.3.5.2

被除数 $2 x^{4}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

ステップ 1.2.2.3.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

ステップ 1.2.2.3.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{4} + 8 x^{3}$ の符号をすべて変更します。

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

ステップ 1.2.2.3.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

ステップ 1.2.2.3.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

ステップ 1.2.2.3.5.7

被除数 $- 8 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

ステップ 1.2.2.3.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

ステップ 1.2.2.3.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 8 x^{3} - 32 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

ステップ 1.2.2.3.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

ステップ 1.2.2.3.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

ステップ 1.2.2.3.5.12

被除数 $32 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

ステップ 1.2.2.3.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

ステップ 1.2.2.3.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $32 x^{2} + 128 x$ の符号をすべて変更します。

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

ステップ 1.2.2.3.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

ステップ 1.2.2.3.5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

ステップ 1.2.2.3.5.17

被除数 $- 13 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

ステップ 1.2.2.3.5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

ステップ 1.2.2.3.5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $- 13 x - 52$ の符号をすべて変更します。

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

ステップ 1.2.2.3.5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

$0$

ステップ 1.2.2.3.5.21

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13$

ステップ 1.2.2.3.6

$2 x^{4} + 115 x - 52$ を因数の集合として書き換えます。

$- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

ステップ 1.2.2.4

$x + 4$ を $- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.4.1

$x + 4$ を $- 5 x^{2} (x + 4)$ で因数分解します。

$(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

ステップ 1.2.2.4.2

$x + 4$ を $(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ で因数分解します。

$(x + 4) (- 5 x^{2} + 2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

ステップ 1.2.2.5

$- 5 x^{2}$ から $8 x^{2}$ を引きます。

$(x + 4) (2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

ステップ 1.2.2.6

因数分解。

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ステップ 1.2.2.6.1

有理根検定を用いて $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.6.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 13$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 1.2.2.6.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 13, \pm 6.5$

ステップ 1.2.2.6.1.3

$0.5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $0.5$ は多項式の根です。

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ステップ 1.2.2.6.1.3.1

$0.5$ を多項式に代入します。

$2 \cdot {0.5}^{3} - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

ステップ 1.2.2.6.1.3.2

$0.5$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot 0.125 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

ステップ 1.2.2.6.1.3.3

$2$ に $0.125$ をかけます。

$0.25 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

ステップ 1.2.2.6.1.3.4

$0.5$ を $2$ 乗します。

$0.25 - 13 \cdot 0.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

ステップ 1.2.2.6.1.3.5

$- 13$ に $0.25$ をかけます。

$0.25 - 3.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

ステップ 1.2.2.6.1.3.6

$0.25$ から $3.25$ を引きます。

$- 3 + 32 \cdot 0.5 - 13$

ステップ 1.2.2.6.1.3.7

$32$ に $0.5$ をかけます。

$- 3 + 16 - 13$

ステップ 1.2.2.6.1.3.8

$- 3$ と $16$ をたし算します。

$13 - 13$

ステップ 1.2.2.6.1.3.9

$13$ から $13$ を引きます。

$0$

ステップ 1.2.2.6.1.4

$0.5$ は既知の根なので、多項式を $2 x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13}{2 x - 1}$

ステップ 1.2.2.6.1.5

$2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ を $2 x - 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.6.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$32 x$

$13$

ステップ 1.2.2.6.1.5.2

被除数 $2 x^{3}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$

ステップ 1.2.2.6.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 1.2.2.6.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 1.2.2.6.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

ステップ 1.2.2.6.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

ステップ 1.2.2.6.1.5.7

被除数 $- 12 x^{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

ステップ 1.2.2.6.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$6 x$

ステップ 1.2.2.6.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 12 x^{2} + 6 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$

ステップ 1.2.2.6.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$

ステップ 1.2.2.6.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

ステップ 1.2.2.6.1.5.12

被除数 $26 x$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

ステップ 1.2.2.6.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							+	$26 x$	-	$13$

ステップ 1.2.2.6.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $26 x - 13$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$

ステップ 1.2.2.6.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$
										$0$

ステップ 1.2.2.6.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 6 x + 13$

ステップ 1.2.2.6.1.6

$2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 4) ((2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13)) = 0$

ステップ 1.2.2.6.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 4) (2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 4 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$

ステップ 1.2.4

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 1.2.4.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 1.2.5

$2 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$2 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 1 = 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ について $2 x - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 1.2.5.2.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.6

$x^{2} - 6 x + 13$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$x^{2} - 6 x + 13$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$

ステップ 1.2.6.2

$x$ について $x^{2} - 6 x + 13 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.2.6.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 6$ 、および $c = 13$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.3.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 13$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $13$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.3

$36$ から $52$ を引きます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.4

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

ステップ 1.2.6.2.3.3

$\frac{6 \pm 4 i}{2}$ を簡約します。

$x = 3 \pm 2 i$

ステップ 1.2.6.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.4.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 13$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.2.2

$- 4$ に $13$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.3

$36$ から $52$ を引きます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.4

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

ステップ 1.2.6.2.4.3

$\frac{6 \pm 4 i}{2}$ を簡約します。

$x = 3 \pm 2 i$

ステップ 1.2.6.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 3 + 2 i$

ステップ 1.2.6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.5.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 13$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.2.2

$- 4$ に $13$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.3

$36$ から $52$ を引きます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.4

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.6.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

ステップ 1.2.6.2.5.3

$\frac{6 \pm 4 i}{2}$ を簡約します。

$x = 3 \pm 2 i$

ステップ 1.2.6.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 3 - 2 i$

ステップ 1.2.6.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$

ステップ 1.2.7

最終解は $(x + 4) (2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 4, \frac{1}{2}, 3 + 2 i, 3 - 2 i$

ステップ 1.3

点形式のx切片です。

x切片： $(- 4, 0), (\frac{1}{2}, 0)$

ステップ 2

y切片を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

y切片を求めるために、 $0$ を $x$ に代入し $y$ を解きます。

$y = 2 {(0)}^{4} - 5 {(0)}^{3} - 20 {(0)}^{2} + 115 (0) - 52$

ステップ 2.2

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

括弧を削除します。

$y = 2 \cdot 0^{4} - 5 {(0)}^{3} - 20 {(0)}^{2} + 115 (0) - 52$

ステップ 2.2.2

括弧を削除します。

$y = 2 \cdot 0^{4} - 5 \cdot 0^{3} - 20 {(0)}^{2} + 115 (0) - 52$

ステップ 2.2.3

括弧を削除します。

$y = 2 \cdot 0^{4} - 5 \cdot 0^{3} - 20 \cdot 0^{2} + 115 (0) - 52$

ステップ 2.2.4

括弧を削除します。

$y = 2 {(0)}^{4} - 5 {(0)}^{3} - 20 {(0)}^{2} + 115 (0) - 52$

ステップ 2.2.5

$2 {(0)}^{4} - 5 {(0)}^{3} - 20 {(0)}^{2} + 115 (0) - 52$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 2 \cdot 0 - 5 {(0)}^{3} - 20 {(0)}^{2} + 115 (0) - 52$

ステップ 2.2.5.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$y = 0 - 5 {(0)}^{3} - 20 {(0)}^{2} + 115 (0) - 52$

ステップ 2.2.5.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 - 5 \cdot 0 - 20 {(0)}^{2} + 115 (0) - 52$

ステップ 2.2.5.1.4

$- 5$ に $0$ をかけます。

$y = 0 + 0 - 20 {(0)}^{2} + 115 (0) - 52$

ステップ 2.2.5.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 + 0 - 20 \cdot 0 + 115 (0) - 52$

ステップ 2.2.5.1.6

$- 20$ に $0$ をかけます。

$y = 0 + 0 + 0 + 115 (0) - 52$

ステップ 2.2.5.1.7

$115$ に $0$ をかけます。

$y = 0 + 0 + 0 + 0 - 52$

ステップ 2.2.5.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$y = 0 + 0 + 0 - 52$

ステップ 2.2.5.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$y = 0 + 0 - 52$

ステップ 2.2.5.2.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$y = 0 - 52$

ステップ 2.2.5.2.4

$0$ から $52$ を引きます。

$y = - 52$

ステップ 2.3

点形式のy切片です。

y切片： $(0, - 52)$

ステップ 3

交点を一覧にします。

x切片： $(- 4, 0), (\frac{1}{2}, 0)$

y切片： $(0, - 52)$

ステップ 4

微分積分学準備 例

微分積分学準備例