微分積分学準備例

$f (x) = \frac{4}{x^{2} + 6 x - 5}$

ステップ 1

$\frac{4}{x^{2} + 6 x - 5}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} + 6 x - 5 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.2

$a = 1$ 、 $b = 6$ 、および $c = - 5$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.2.2

$- 4$ に $- 5$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.3

$36$ と $20$ をたし算します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.4

$56$ を $2^{2} \cdot 14$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.1.4.1

$4$ を $56$ で因数分解します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

ステップ 2.3.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ を簡約します。

$x = - 3 \pm \sqrt{14}$

ステップ 2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ を掛けます。

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ステップ 2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.2.2

$- 4$ に $- 5$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.3

$36$ と $20$ をたし算します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.4

$56$ を $2^{2} \cdot 14$ に書き換えます。

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ステップ 2.4.1.4.1

$4$ を $56$ で因数分解します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

ステップ 2.4.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ を簡約します。

$x = - 3 \pm \sqrt{14}$

ステップ 2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = - 3 + \sqrt{14}$

ステップ 2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ を掛けます。

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ステップ 2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.2.2

$- 4$ に $- 5$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.3

$36$ と $20$ をたし算します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.4

$56$ を $2^{2} \cdot 14$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.1.4.1

$4$ を $56$ で因数分解します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

ステップ 2.5.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ を簡約します。

$x = - 3 \pm \sqrt{14}$

ステップ 2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = - 3 - \sqrt{14}$

ステップ 2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 3 + \sqrt{14}, - 3 - \sqrt{14}$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 3 - \sqrt{14}) \cup (- 3 - \sqrt{14}, - 3 + \sqrt{14}) \cup (- 3 + \sqrt{14}, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq - 3 + \sqrt{14}, - 3 - \sqrt{14}}$

ステップ 4

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, - \frac{2}{7}] \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \leq - \frac{2}{7}, y > 0}$

ステップ 5

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, - 3 - \sqrt{14}) \cup (- 3 - \sqrt{14}, - 3 + \sqrt{14}) \cup (- 3 + \sqrt{14}, \infty), {x | x \neq - 3 + \sqrt{14}, - 3 - \sqrt{14}}$

値域： $(- \infty, - \frac{2}{7}] \cup (0, \infty), {y | y \leq - \frac{2}{7}, y > 0}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

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