微分積分学準備例

$y = \log_{3} (3 x)$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \log_{3} (3 y)$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $\log_{3} (3 y) = x$ として書き換えます。

$\log_{3} (3 y) = x$

ステップ 2.2

対数の定義を利用して $\log_{3} (3 y) = x$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$3^{x} = 3 y$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式を $3 y = 3^{x}$ として書き換えます。

$3 y = 3^{x}$

ステップ 2.3.2

$3 y = 3^{x}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$3 y = 3^{x}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y}{3} = \frac{3^{x}}{3}$

ステップ 2.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y}{3} = \frac{3^{x}}{3}$

ステップ 2.3.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{3^{x}}{3}$

ステップ 2.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.3.1

$3^{x}$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.3.1.1

$3$ を $3^{x}$ で因数分解します。

$y = \frac{3 \cdot 3^{x - 1}}{3}$

ステップ 2.3.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.3.1.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$y = \frac{3 \cdot 3^{x - 1}}{3 (1)}$

ステップ 2.3.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{3 \cdot 3^{x - 1}}{3 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{3^{x - 1}}{1}$

ステップ 2.3.2.3.1.2.4

$3^{x - 1}$ を $1$ で割ります。

$y = 3^{x - 1}$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$ が $f (x) = \log_{3} (3 x)$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\log_{3} (3 x))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\log_{3} (3 x)) = 3^{(\log_{3} (3 x)) - 1}$

ステップ 4.2.3

括弧を削除します。

$f^{- 1} (\log_{3} (3 x)) = 3^{\log_{3} (3 x) - 1}$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (3^{x - 1})$ の値を求めます。

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3 (3^{x - 1}))$

ステップ 4.3.3

$\log_{3} (3 (3^{x - 1}))$ を $\log_{3} (3) + \log_{3} (3^{x - 1})$ に書き換えます。

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + \log_{3} (3^{x - 1})$

ステップ 4.3.4

対数の法則を利用して指数の外に $x - 1$ を移動します。

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + (x - 1) \log_{3} (3)$

ステップ 4.3.5

$3$ の対数の底 $3$ は $1$ です。

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + (x - 1) \cdot 1$

ステップ 4.3.6

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + x - 1$

ステップ 4.3.7

$3$ の対数の底 $3$ は $1$ です。

$f (3^{x - 1}) = 1 + x - 1$

ステップ 4.3.8

$1 + x - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.8.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f (3^{x - 1}) = x + 0$

ステップ 4.3.8.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (3^{x - 1}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$ は $f (x) = \log_{3} (3 x)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$

微分積分学準備 例

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