微分積分学準備例

$f (x) = \frac{5 x}{\sqrt[3]{x^{3} + 8}}$

ステップ 1

$\frac{5 x}{\sqrt[3]{x^{3} + 8}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt[3]{x^{3} + 8} = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{x^{3} + 8}}^{3} = 0^{3}$

ステップ 2.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{3} + 8}$ を ${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1.1

${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 2.2.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 2.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x^{3} + 8)}^{1} = 0^{3}$

ステップ 2.2.2.1.2

簡約します。

$x^{3} + 8 = 0^{3}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x^{3} + 8 = 0$

ステップ 2.3

$x$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x^{3} = - 8$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x^{3} + 8 = 0$

ステップ 2.3.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.3.3.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} + 2^{3} = 0$

ステップ 2.3.3.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 2.3.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) = 0$

ステップ 2.3.3.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

ステップ 2.3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

ステップ 2.3.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.3.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.3.6

$x^{2} - 2 x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.6.1

$x^{2} - 2 x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

ステップ 2.3.6.2

$x$ について $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.3.6.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.6.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.6.2.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.3.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.3.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.3.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.2.3.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.3.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.3.6.2.3.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 2.3.6.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.3.6.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.6.2.4.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.4.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.4.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.4.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.4.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.2.4.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.4.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.4.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.3.6.2.4.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 2.3.6.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 1 + i \sqrt{3}$

ステップ 2.3.6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.3.6.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.2.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.5.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.5.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.5.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.5.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.2.5.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.5.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.5.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.6.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.3.6.2.5.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 2.3.6.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 2.3.6.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 2.3.7

最終解は $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq - 2}$

ステップ 4

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \neq 5}$

ステップ 5

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty), {x | x \neq - 2}$

値域： $(- \infty, 5) \cup (5, \infty), {y | y \neq 5}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

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