微分積分学準備例

$f (x) = \frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 16}$

ステップ 1

$\frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 16}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} + x + 16 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.2

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 16$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.2.2

$- 4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.3

$1$ から $64$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.4

$- 63$ を $- 1 (63)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (63)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.7

$63$ を $3^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.1.7.1

$9$ を $63$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ を掛けます。

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ステップ 2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.2.2

$- 4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.3

$1$ から $64$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.4

$- 63$ を $- 1 (63)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (63)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.7

$63$ を $3^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

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ステップ 2.4.1.7.1

$9$ を $63$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 2.4.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 2.4.5

$- 1$ を $3 i \sqrt{7}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- 3 i \sqrt{7})}{2}$

ステップ 2.4.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (- 3 i \sqrt{7})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 - 3 i \sqrt{7})}{2}$

ステップ 2.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.2.2

$- 4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.3

$1$ から $64$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.4

$- 63$ を $- 1 (63)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (63)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.7

$63$ を $3^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.7.1

$9$ を $63$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 2.5.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 2.5.5

$- 1$ を $- 3 i \sqrt{7}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (3 i \sqrt{7})}{2}$

ステップ 2.5.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (3 i \sqrt{7})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 + 3 i \sqrt{7})}{2}$

ステップ 2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 3

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[\frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63}, \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}]$

集合の内包的記法：

${y | \frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63} \leq y \leq \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}}$

ステップ 5

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

値域： $[\frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63}, \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}], {y | \frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63} \leq y \leq \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例