微分積分学準備例

$f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{6}{\sqrt{8 - y}}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{6}{\sqrt{8 - y}} = x$ として書き換えます。

$\frac{6}{\sqrt{8 - y}} = x$

ステップ 3.2

たすき掛けします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

右辺の分子と左辺の分母の積を、左辺の分子と右辺の分母の積と等しくしてたすき掛けします。

$x \cdot (\sqrt{8 - y}) = 6$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$x$ に $\sqrt{8 - y}$ をかけます。

$x \sqrt{8 - y} = 6$

ステップ 3.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(x \sqrt{8 - y})}^{2} = 6^{2}$

ステップ 3.4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{8 - y}$ を ${(8 - y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

${(x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

積の法則を $x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$x^{2} {({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

ステップ 3.4.2.1.2

${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} {(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

ステップ 3.4.2.1.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$x^{2} {(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

ステップ 3.4.2.1.2.2.2

式を書き換えます。

$x^{2} {(8 - y)}^{1} = 6^{2}$

ステップ 3.4.2.1.3

簡約します。

$x^{2} (8 - y) = 6^{2}$

ステップ 3.4.2.1.4

分配則を当てはめます。

$x^{2} \cdot 8 + x^{2} (- y) = 6^{2}$

ステップ 3.4.2.1.5

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.5.1

$8$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$8 \cdot x^{2} + x^{2} (- y) = 6^{2}$

ステップ 3.4.2.1.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$8 x^{2} - x^{2} y = 6^{2}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$6$ を $2$ 乗します。

$8 x^{2} - x^{2} y = 36$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式の両辺から $8 x^{2}$ を引きます。

$- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$

ステップ 3.5.2

$- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$ の各項を $- x^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$ の各項を $- x^{2}$ で割ります。

$\frac{- x^{2} y}{- x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

ステップ 3.5.2.2.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

ステップ 3.5.2.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

ステップ 3.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

ステップ 3.5.2.3.1.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

ステップ 3.5.2.3.1.2.2

式を書き換えます。

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.2.3

$\frac{- 8}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y = - \frac{36}{x^{2}} - 1 \cdot - 8$

ステップ 3.5.2.3.1.3

$- 1 \cdot - 8$ を $- - 8$ に書き換えます。

$y = - \frac{36}{x^{2}} - - 8$

ステップ 3.5.2.3.1.4

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$y = - \frac{36}{x^{2}} + 8$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$ が $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{{(\frac{6}{\sqrt{8 - x}})}^{2}} + 8$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

積の法則を $\frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{6^{2}}{{\sqrt{8 - x}}^{2}}} + 8$

ステップ 5.2.3.1.2

$6$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{\sqrt{8 - x}}^{2}}} + 8$

ステップ 5.2.3.1.3

${\sqrt{8 - x}}^{2}$ を $8 - x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{8 - x}$ を ${(8 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{({(8 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} + 8$

ステップ 5.2.3.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} + 8$

ステップ 5.2.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{2}{2}}}} + 8$

ステップ 5.2.3.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{2}{2}}}} + 8$

ステップ 5.2.3.1.3.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{8 - x}} + 8$

ステップ 5.2.3.1.3.5

簡約します。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{8 - x}} + 8$

ステップ 5.2.3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (36 (\frac{8 - x}{36})) + 8$

ステップ 5.2.3.3

$36$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (36 (\frac{8 - x}{36})) + 8$

ステップ 5.2.3.3.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (8 - x) + 8$

ステップ 5.2.3.4

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 1 \cdot 8 + x + 8$

ステップ 5.2.3.5

$- 1$ に $8$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + x + 8$

ステップ 5.2.3.6

$- - x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + 1 x + 8$

ステップ 5.2.3.6.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + x + 8$

ステップ 5.2.4

$- 8 + x + 8$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$- 8$ と $8$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (- \frac{36}{x^{2}} + 8)$ の値を求めます。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - (- \frac{36}{x^{2}} + 8)}}$

ステップ 5.3.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ を掛けます。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - (- \frac{36}{x^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2}})}}$

ステップ 5.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{- 36 + 8 x^{2}}{x^{2}}}}$

ステップ 5.3.3.3

$4$ を $- 36 + 8 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1

$4$ を $- 36$ で因数分解します。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9) + 8 x^{2}}{x^{2}}}}$

ステップ 5.3.3.3.2

$4$ を $8 x^{2}$ で因数分解します。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9) + 4 (2 x^{2})}{x^{2}}}}$

ステップ 5.3.3.3.3

$4$ を $4 (- 9) + 4 (2 x^{2})$ で因数分解します。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

ステップ 5.3.3.4

$8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ を掛けます。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{8 x^{2}}{x^{2}} - \frac{4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

ステップ 5.3.3.5

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

ステップ 5.3.3.6

因数分解した形で $\frac{8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.6.1

$4$ を $8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.6.1.1

$4$ を $8 x^{2}$ で因数分解します。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2}) - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

ステップ 5.3.3.6.1.2

$4$ を $- 4 (- 9 + 2 x^{2})$ で因数分解します。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (- (- 9 + 2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

ステップ 5.3.3.6.1.3

$4$ を $4 (2 x^{2}) + 4 (- (- 9 + 2 x^{2}))$ で因数分解します。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} - (- 9 + 2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

ステップ 5.3.3.6.2

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - (2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

ステップ 5.3.3.6.3

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - (2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

ステップ 5.3.3.6.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

ステップ 5.3.3.6.5

$2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (0 + 9)}{x^{2}}}}$

ステップ 5.3.3.6.6

$0$ と $9$ をたし算します。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 \cdot 9}{x^{2}}}}$

ステップ 5.3.3.7

$4$ に $9$ をかけます。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{36}{x^{2}}}}$

ステップ 5.3.3.8

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{6^{2}}{x^{2}}}}$

ステップ 5.3.3.9

$\frac{6^{2}}{x^{2}}$ を ${(\frac{6}{x})}^{2}$ に書き換えます。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{{(\frac{6}{x})}^{2}}}$

ステップ 5.3.3.10

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\frac{6}{x}}$

ステップ 5.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = 6 (\frac{x}{6})$

ステップ 5.3.5

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = 6 (\frac{x}{6})$

ステップ 5.3.5.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$ は $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$

微分積分学準備 例

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