微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ を方程式で書きます。

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt{1 - y^{2}}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\sqrt{1 - y^{2}} = x$ として書き換えます。

$\sqrt{1 - y^{2}} = x$

ステップ 3.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{1 - y^{2}}}^{2} = x^{2}$

ステップ 3.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - y^{2}}$ を ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1.1

${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(1 - y^{2})}^{1} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

簡約します。

$1 - y^{2} = x^{2}$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- y^{2} = x^{2} - 1$

ステップ 3.4.2

$- y^{2} = x^{2} - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$- y^{2} = x^{2} - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.4.2.2.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.2.3.1.1

$\frac{x^{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y^{2} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.4.2.3.1.2

$- 1 \cdot x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$y^{2} = - x^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.4.2.3.1.3

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$y^{2} = - x^{2} + 1$

ステップ 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 1}$

ステップ 3.4.4

$\pm \sqrt{- x^{2} + 1}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.4.1

式を簡約します。

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ステップ 3.4.4.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 1^{2}}$

ステップ 3.4.4.1.2

$- x^{2}$ と $1^{2}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

ステップ 3.4.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$y = \pm \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 3.4.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 3.4.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。