微分積分学準備例

$f (x) = e^{x - 5} - 5$

ステップ 1

$f (x) = e^{x - 5} - 5$ を方程式で書きます。

$y = e^{x - 5} - 5$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = e^{y - 5} - 5$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $e^{y - 5} - 5 = x$ として書き換えます。

$e^{y - 5} - 5 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$e^{y - 5} = x + 5$

ステップ 3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y - 5}) = \ln (x + 5)$

ステップ 3.4

左辺を展開します。

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ステップ 3.4.1

$y - 5$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y - 5})$ を展開します。

$(y - 5) \ln (e) = \ln (x + 5)$

ステップ 3.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(y - 5) \cdot 1 = \ln (x + 5)$

ステップ 3.4.3

$y - 5$ に $1$ をかけます。

$y - 5 = \ln (x + 5)$

ステップ 3.5

方程式の両辺に $5$ を足します。

$y = \ln (x + 5) + 5$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$ が $f (x) = e^{x - 5} - 5$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (e^{x - 5} - 5)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = \ln ((e^{x - 5} - 5) + 5) + 5$

ステップ 5.2.3

$\ln ((e^{x - 5} - 5) + 5) + 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.3.1

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = \ln (e^{x - 5} + 0) + 5$

ステップ 5.2.3.2

$e^{x - 5}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = \ln (e^{x - 5}) + 5$

ステップ 5.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

対数の法則を利用して指数の外に $x - 5$ を移動します。

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = (x - 5) \ln (e) + 5$

ステップ 5.2.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = (x - 5) \cdot 1 + 5$

ステップ 5.2.4.3

$x - 5$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = x - 5 + 5$

ステップ 5.2.5

$x - 5 + 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.5.1

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = x + 0$

ステップ 5.2.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\ln (x + 5) + 5)$ の値を求めます。

$f (\ln (x + 5) + 5) = e^{(\ln (x + 5) + 5) - 5} - 5$

ステップ 5.3.3

$e^{(\ln (x + 5) + 5) - 5} - 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.3.1

$5$ から $5$ を引きます。

$f (\ln (x + 5) + 5) = e^{\ln (x + 5) + 0} - 5$

ステップ 5.3.3.2

$\ln (x + 5)$ と $0$ をたし算します。

$f (\ln (x + 5) + 5) = e^{\ln (x + 5)} - 5$

ステップ 5.3.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (x + 5) + 5) = x + 5 - 5$

ステップ 5.3.5

$x + 5 - 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.5.1

$5$ から $5$ を引きます。

$f (\ln (x + 5) + 5) = x + 0$

ステップ 5.3.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\ln (x + 5) + 5) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$ は $f (x) = e^{x - 5} - 5$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$

微分積分学準備 例

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