微分積分学準備例

$f (x) = - 2 x^{2} + 3$

ステップ 1

$f (x) = - 2 x^{2} + 3$ を方程式で書きます。

$y = - 2 x^{2} + 3$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = - 2 y^{2} + 3$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $- 2 y^{2} + 3 = x$ として書き換えます。

$- 2 y^{2} + 3 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- 2 y^{2} = x - 3$

ステップ 3.3

$- 2 y^{2} = x - 3$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- 2 y^{2} = x - 3$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

ステップ 3.3.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - \frac{x}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

ステップ 3.3.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y^{2} = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} + \frac{3}{2}}$

ステップ 3.5

$\pm \sqrt{- \frac{x}{2} + \frac{3}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 3.5.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 3}{2}}$

ステップ 3.5.2

$\sqrt{\frac{- x + 3}{2}}$ を $\frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.5.3

$\frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.5.4.1

$\frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.5.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 3.5.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 3.5.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.5.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 3.5.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.5.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.4.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 3.5.4.6.5

指数を求めます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.5.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x + 3) \cdot 2}}{2}$

ステップ 3.5.6

$\pm \frac{\sqrt{(- x + 3) \cdot 2}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

ステップ 3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

ステップ 3.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

ステップ 3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ が $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = - 2 x^{2} + 3$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, 3]$

ステップ 5.3

$\frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{2 (- x + 3)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$2 (- x + 3) \geq 0$

ステップ 5.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.3.2.1

$2 (- x + 3) \geq 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.1

$2 (- x + 3) \geq 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (- x + 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

ステップ 5.3.2.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x + 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

ステップ 5.3.2.1.2.1.2

$- x + 3$ を $1$ で割ります。

$- x + 3 \geq \frac{0}{2}$

ステップ 5.3.2.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$- x + 3 \geq 0$

ステップ 5.3.2.2

不等式の両辺から $3$ を引きます。

$- x \geq - 3$

ステップ 5.3.2.3

$- x \geq - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.2.3.1

$- x \geq - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 5.3.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 5.3.2.3.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 5.3.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.3.3.1

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$x \leq 3$

ステップ 5.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 3]$

ステップ 5.4

$f (x) = - 2 x^{2} + 3$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ の定義域が $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ の範囲が $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ は $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

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