微分積分学準備例

$f (x) = 2 \sqrt[3]{x} - 5$

ステップ 1

$f (x) = 2 \sqrt[3]{x} - 5$ を方程式で書きます。

$y = 2 \sqrt[3]{x} - 5$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 2 \sqrt[3]{y} - 5$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $2 \sqrt[3]{y} - 5 = x$ として書き換えます。

$2 \sqrt[3]{y} - 5 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$2 \sqrt[3]{y} = x + 5$

ステップ 3.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(2 \sqrt[3]{y})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

ステップ 3.4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{y}$ を $y^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(2 y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

${(2 y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

積の法則を $2 y^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

$2^{3} {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

ステップ 3.4.2.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$8 {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

ステップ 3.4.2.1.3

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 5)}^{3}$

ステップ 3.4.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$8 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 5)}^{3}$

ステップ 3.4.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$8 y^{1} = {(x + 5)}^{3}$

ステップ 3.4.2.1.4

簡約します。

$8 y = {(x + 5)}^{3}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

${(x + 5)}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

二項定理を利用します。

$8 y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}$

ステップ 3.4.3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.2.1

$5$ に $3$ をかけます。

$8 y = x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}$

ステップ 3.4.3.1.2.2

$5$ を $2$ 乗します。

$8 y = x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + 5^{3}$

ステップ 3.4.3.1.2.3

$25$ に $3$ をかけます。

$8 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 5^{3}$

ステップ 3.4.3.1.2.4

$5$ を $3$ 乗します。

$8 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$

ステップ 3.5

$8 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$8 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}$

ステップ 3.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}$ が $f (x) = 2 \sqrt[3]{x} - 5$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{8} + \frac{15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{8} + \frac{75 (2 \sqrt[3]{x} - 5)}{8} + \frac{125}{8}$

ステップ 5.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

二項定理を利用します。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x})}^{3} + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

積の法則を $2 \sqrt[3]{x}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{2^{3} {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.2.2

$2$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.2.3

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.2.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.2.3.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x^{\frac{3}{3}} + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.2.3.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.3.4.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.2.4.2.3.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.2.3.5

簡約します。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.2.4

積の法則を $2 \sqrt[3]{x}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 (2^{2} {\sqrt[3]{x}}^{2}) \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.2.5

$2$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.2.6

${\sqrt[3]{x}}^{2}$ を $\sqrt[3]{x^{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}}) \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.2.7

$4$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.2.8

$- 5$ に $12$ をかけます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.2.9

$2$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 6 \sqrt[3]{x} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.2.10

$- 5$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 6 \sqrt[3]{x} \cdot 25 + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.2.11

$25$ に $6$ をかけます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.2.12

$- 5$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.3

${(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}$ を $(2 \sqrt[3]{x} - 5) (2 \sqrt[3]{x} - 5)$ に書き換えます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 ((2 \sqrt[3]{x} - 5) (2 \sqrt[3]{x} - 5)) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.4

分配法則（FOIL法）を使って $(2 \sqrt[3]{x} - 5) (2 \sqrt[3]{x} - 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x} - 5) - 5 (2 \sqrt[3]{x} - 5)) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.4.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (2 \sqrt[3]{x} - 5)) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.4.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (2 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.5.1.1

$2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.5.1.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (4 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (2 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.5.1.1.2

$\sqrt[3]{x}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (4 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (2 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.5.1.1.3

$\sqrt[3]{x}$ を $1$ 乗します。

ステップ 5.2.4.5.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (4 {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (2 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.5.1.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (4 {\sqrt[3]{x}}^{2} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (2 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.5.1.2

${\sqrt[3]{x}}^{2}$ を $\sqrt[3]{x^{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (4 \sqrt[3]{x^{2}} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (2 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.5.1.3

$- 5$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 10 \sqrt[3]{x} - 5 (2 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.5.1.4

$2$ に $- 5$ をかけます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 10 \sqrt[3]{x} - 10 \sqrt[3]{x} - 5 \cdot - 5) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.5.1.5

$- 5$ に $- 5$ をかけます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 10 \sqrt[3]{x} - 10 \sqrt[3]{x} + 25) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.5.2

$- 10 \sqrt[3]{x}$ から $10 \sqrt[3]{x}$ を引きます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 20 \sqrt[3]{x} + 25) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.6

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (4 \sqrt[3]{x^{2}}) + 15 (- 20 \sqrt[3]{x}) + 15 \cdot 25 + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.7.1

$4$ に $15$ をかけます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 15 (- 20 \sqrt[3]{x}) + 15 \cdot 25 + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.7.2

$- 20$ に $15$ をかけます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 60 \sqrt[3]{x^{2}} - 300 \sqrt[3]{x} + 15 \cdot 25 + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.7.3

$15$ に $25$ をかけます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 60 \sqrt[3]{x^{2}} - 300 \sqrt[3]{x} + 375 + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.8

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 60 \sqrt[3]{x^{2}} - 300 \sqrt[3]{x} + 375 + 75 (2 \sqrt[3]{x}) + 75 \cdot - 5 + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.9

$2$ に $75$ をかけます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 60 \sqrt[3]{x^{2}} - 300 \sqrt[3]{x} + 375 + 150 \sqrt[3]{x} + 75 \cdot - 5 + 125}{8}$

ステップ 5.2.4.10

$75$ に $- 5$ をかけます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 60 \sqrt[3]{x^{2}} - 300 \sqrt[3]{x} + 375 + 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 125}{8}$

ステップ 5.2.5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

$8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 60 \sqrt[3]{x^{2}} - 300 \sqrt[3]{x} + 375 + 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 125$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1.1

$- 60 \sqrt[3]{x^{2}}$ と $60 \sqrt[3]{x^{2}}$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 0 + 150 \sqrt[3]{x} - 125 - 300 \sqrt[3]{x} + 375 + 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 125}{8}$

ステップ 5.2.5.1.2

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 150 \sqrt[3]{x} - 125 - 300 \sqrt[3]{x} + 375 + 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 125}{8}$

ステップ 5.2.5.1.3

$375$ から $375$ を引きます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 150 \sqrt[3]{x} - 125 - 300 \sqrt[3]{x} + 0 + 150 \sqrt[3]{x} + 125}{8}$

ステップ 5.2.5.1.4

$8 x + 150 \sqrt[3]{x} - 125 - 300 \sqrt[3]{x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 150 \sqrt[3]{x} - 125 - 300 \sqrt[3]{x} + 150 \sqrt[3]{x} + 125}{8}$

ステップ 5.2.5.1.5

$- 125$ と $125$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 150 \sqrt[3]{x} + 0 - 300 \sqrt[3]{x} + 150 \sqrt[3]{x}}{8}$

ステップ 5.2.5.1.6

$8 x + 150 \sqrt[3]{x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 150 \sqrt[3]{x} - 300 \sqrt[3]{x} + 150 \sqrt[3]{x}}{8}$

ステップ 5.2.5.2

$150 \sqrt[3]{x}$ から $300 \sqrt[3]{x}$ を引きます。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 150 \sqrt[3]{x} + 150 \sqrt[3]{x}}{8}$

ステップ 5.2.5.3

$8 x - 150 \sqrt[3]{x} + 150 \sqrt[3]{x}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.3.1

$- 150 \sqrt[3]{x}$ と $150 \sqrt[3]{x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 0}{8}$

ステップ 5.2.5.3.2

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x}{8}$

ステップ 5.2.5.4

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x}{8}$

ステップ 5.2.5.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8})$ の値を求めます。

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}} - 5$

ステップ 5.3.3

括弧を削除します。

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}} - 5$

ステップ 5.3.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125}{8}} - 5$

ステップ 5.3.4.2

$\frac{x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125}{8}$ を ${(\frac{1}{2})}^{3} (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1

$x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$ から完全累乗 $1^{3}$ を因数分解します。

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125)}{8}} - 5$

ステップ 5.3.4.2.2

$8$ から完全累乗 $2^{3}$ を因数分解します。

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125)}{2^{3} \cdot 1}} - 5$

ステップ 5.3.4.2.3

分数 $\frac{1^{3} (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125)}{2^{3} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125)} - 5$

ステップ 5.3.4.3

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125}) - 5$

ステップ 5.3.4.4

各項を2項式の定理の公式の項と一致させます。

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x^{3} + 3 \cdot (5 x^{2}) + 3 \cdot (5^{2} x) + 5^{3}}) - 5$

ステップ 5.3.4.5

2項式の定理を利用して $x^{3} + 3 \cdot 5 x^{2} + 3 \cdot 5^{2} x + 5^{3}$ を因数分解します。

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{{(x + 5)}^{3}}) - 5$

ステップ 5.3.4.6

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 (\frac{1}{2} \cdot (x + 5)) - 5$

ステップ 5.3.4.7

分配則を当てはめます。

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot 5) - 5$

ステップ 5.3.4.8

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 (\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot 5) - 5$

ステップ 5.3.4.9

$\frac{1}{2}$ と $5$ をまとめます。

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 (\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) - 5$

ステップ 5.3.4.10

分配則を当てはめます。

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{5}{2}) - 5$

ステップ 5.3.4.11

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.11.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{5}{2}) - 5$

ステップ 5.3.4.11.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = x + 2 (\frac{5}{2}) - 5$

ステップ 5.3.4.12

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.12.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = x + 2 (\frac{5}{2}) - 5$

ステップ 5.3.4.12.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = x + 5 - 5$

ステップ 5.3.5

$x + 5 - 5$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$5$ から $5$ を引きます。

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = x + 0$

ステップ 5.3.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}$ は $f (x) = 2 \sqrt[3]{x} - 5$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例