微分積分学準備例

$f (x) = 2 x^{3} - 4$

ステップ 1

$f (x) = 2 x^{3} - 4$ を方程式で書きます。

$y = 2 x^{3} - 4$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 2 y^{3} - 4$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $2 y^{3} - 4 = x$ として書き換えます。

$2 y^{3} - 4 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$2 y^{3} = x + 4$

ステップ 3.3

$2 y^{3} = x + 4$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2 y^{3} = x + 4$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{4}{2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{4}{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

$y^{3}$ を $1$ で割ります。

$y^{3} = \frac{x}{2} + \frac{4}{2}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$4$ を $2$ で割ります。

$y^{3} = \frac{x}{2} + 2$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{2} + 2}$

ステップ 3.5

$\sqrt[3]{\frac{x}{2} + 2}$ を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 3.5.2

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.5.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 2 \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.5.4

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 4}{2}}$

ステップ 3.5.5

$\sqrt[3]{\frac{x + 4}{2}}$ を $\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{\sqrt[3]{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{\sqrt[3]{2}}$

ステップ 3.5.6

$\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{\sqrt[3]{2}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 3.5.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.5.7.1

$\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{\sqrt[3]{2}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 3.5.7.2

$\sqrt[3]{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 3.5.7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

ステップ 3.5.7.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

ステップ 3.5.7.5

${\sqrt[3]{2}}^{3}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.7.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{2}$ を $2^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 3.5.7.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 3.5.7.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.5.7.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.7.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.5.7.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

ステップ 3.5.7.5.5

指数を求めます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

ステップ 3.5.8

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.8.1

${\sqrt[3]{2}}^{2}$ を $\sqrt[3]{2^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

ステップ 3.5.8.2

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} \sqrt[3]{4}}{2}$

ステップ 3.5.9

くくりだして簡約します。

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ステップ 3.5.9.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 4) \cdot 4}}{2}$

ステップ 3.5.9.2

$\frac{\sqrt[3]{(x + 4) \cdot 4}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$ が $f (x) = 2 x^{3} - 4$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (2 x^{3} - 4)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{4 ((2 x^{3} - 4) + 4)}}{2}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} + 0)}}{2}$

ステップ 5.2.3.2

$2 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{4 \cdot (2 x^{3})}}{2}$

ステップ 5.2.3.3

$4$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

ステップ 5.2.3.4

$8 x^{3}$ を ${(2 x)}^{3}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

ステップ 5.2.3.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2})$ の値を求めます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2})}^{3} - 4$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

積の法則を $\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}^{3}}{2^{3}}) - 4$

ステップ 5.3.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.2.1

${\sqrt[3]{4 (x + 4)}}^{3}$ を $4 (x + 4)$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.3.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{4 (x + 4)}$ を ${(4 (x + 4))}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{{({(4 (x + 4))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}) - 4$

ステップ 5.3.3.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{{(4 (x + 4))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}) - 4$

ステップ 5.3.3.2.1.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{{(4 (x + 4))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 4$

ステップ 5.3.3.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{{(4 (x + 4))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 4$

ステップ 5.3.3.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{2^{3}}) - 4$

ステップ 5.3.3.2.1.5

簡約します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{2^{3}}) - 4$

ステップ 5.3.3.2.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 x + 4 \cdot 4}{2^{3}}) - 4$

ステップ 5.3.3.2.3

$4$ に $4$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 x + 16}{2^{3}}) - 4$

ステップ 5.3.3.2.4

$4$ を $4 x + 16$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.3.2.4.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x) + 16}{2^{3}}) - 4$

ステップ 5.3.3.2.4.2

$4$ を $16$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 x + 4 \cdot 4}{2^{3}}) - 4$

ステップ 5.3.3.2.4.3

$4$ を $4 x + 4 \cdot 4$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{2^{3}}) - 4$

ステップ 5.3.3.3

$2$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{8}) - 4$

ステップ 5.3.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.4.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{2 (4)}) - 4$

ステップ 5.3.3.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{2 \cdot 4}) - 4$

ステップ 5.3.3.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = \frac{4 (x + 4)}{4} - 4$

ステップ 5.3.3.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = \frac{4 (x + 4)}{4} - 4$

ステップ 5.3.3.5.2

$x + 4$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = x + 4 - 4$

ステップ 5.3.4

$x + 4 - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$4$ から $4$ を引きます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$ は $f (x) = 2 x^{3} - 4$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$

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