微分積分学準備例

$f (x) = \ln (3 x) - 2$

ステップ 1

$f (x) = \ln (3 x) - 2$ を方程式で書きます。

$y = \ln (3 x) - 2$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \ln (3 y) - 2$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\ln (3 y) - 2 = x$ として書き換えます。

$\ln (3 y) - 2 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$\ln (3 y) = x + 2$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (3 y)} = e^{x + 2}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (3 y) = x + 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{x + 2} = 3 y$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $3 y = e^{x + 2}$ として書き換えます。

$3 y = e^{x + 2}$

ステップ 3.5.2

$3 y = e^{x + 2}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$3 y = e^{x + 2}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x + 2}}{3}$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x + 2}}{3}$

ステップ 3.5.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{e^{x + 2}}{3}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$ が $f (x) = \ln (3 x) - 2$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\ln (3 x) - 2)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{(\ln (3 x) - 2) + 2}}{3}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$\ln (3 x) - 2 + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.3.1.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{\ln (3 x) + 0}}{3}$

ステップ 5.2.3.1.2

$\ln (3 x)$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{\ln (3 x)}}{3}$

ステップ 5.2.3.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{3 x}{3}$

ステップ 5.2.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{3 x}{3}$

ステップ 5.2.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{e^{x + 2}}{3})$ の値を求めます。

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x + 2}}{3})) - 2$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x + 2}}{3})) - 2$

ステップ 5.3.3.1.2

式を書き換えます。

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (e^{x + 2}) - 2$

ステップ 5.3.3.2

対数の法則を利用して指数の外に $x + 2$ を移動します。

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = (x + 2) \ln (e) - 2$

ステップ 5.3.3.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = (x + 2) \cdot 1 - 2$

ステップ 5.3.3.4

$x + 2$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x + 2 - 2$

ステップ 5.3.4

$x + 2 - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$ は $f (x) = \ln (3 x) - 2$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$

微分積分学準備 例

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