微分積分学準備例

$f (x) = 6 x^{3} - 8$

ステップ 1

$f (x) = 6 x^{3} - 8$ を方程式で書きます。

$y = 6 x^{3} - 8$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 6 y^{3} - 8$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $6 y^{3} - 8 = x$ として書き換えます。

$6 y^{3} - 8 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$6 y^{3} = x + 8$

ステップ 3.3

$6 y^{3} = x + 8$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$6 y^{3} = x + 8$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{8}{6}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{8}{6}$

ステップ 3.3.2.1.2

$y^{3}$ を $1$ で割ります。

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{8}{6}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$8$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{2 (4)}{6}$

ステップ 3.3.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{4}{3}$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4}{3}}$

ステップ 3.5

$\sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$\frac{4}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 3.5.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.5.2.1

$\frac{4}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}}$

ステップ 3.5.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4 \cdot 2}{6}}$

ステップ 3.5.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 4 \cdot 2}{6}}$

ステップ 3.5.4

$4$ に $2$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 8}{6}}$

ステップ 3.5.5

$\sqrt[3]{\frac{x + 8}{6}}$ を $\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$

ステップ 3.5.6

$\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$

ステップ 3.5.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.5.7.1

$\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

ステップ 3.5.7.2

$\sqrt[3]{6}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

ステップ 3.5.7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1 + 2}}$

ステップ 3.5.7.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{3}}$

ステップ 3.5.7.5

${\sqrt[3]{6}}^{3}$ を $6$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.7.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{6}$ を $6^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 3.5.7.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 3.5.7.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.5.7.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.7.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.5.7.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{1}}$

ステップ 3.5.7.5.5

指数を求めます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6}$

ステップ 3.5.8

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.8.1

${\sqrt[3]{6}}^{2}$ を $\sqrt[3]{6^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} \sqrt[3]{6^{2}}}{6}$

ステップ 3.5.8.2

$6$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} \sqrt[3]{36}}{6}$

ステップ 3.5.9

くくりだして簡約します。

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ステップ 3.5.9.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 8) \cdot 36}}{6}$

ステップ 3.5.9.2

$\frac{\sqrt[3]{(x + 8) \cdot 36}}{6}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$ が $f (x) = 6 x^{3} - 8$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (6 x^{3} - 8)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{36 ((6 x^{3} - 8) + 8)}}{6}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$- 8$ と $8$ をたし算します。

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x^{3} + 0)}}{6}$

ステップ 5.2.3.2

$6 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{36 \cdot (6 x^{3})}}{6}$

ステップ 5.2.3.3

$36$ に $6$ をかけます。

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{216 x^{3}}}{6}$

ステップ 5.2.3.4

$216 x^{3}$ を ${(6 x)}^{3}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{{(6 x)}^{3}}}{6}$

ステップ 5.2.3.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{6 x}{6}$

ステップ 5.2.4

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{6 x}{6}$

ステップ 5.2.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6})$ の値を求めます。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 {(\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6})}^{3} - 8$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

積の法則を $\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}^{3}}{6^{3}}) - 8$

ステップ 5.3.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.2.1

${\sqrt[3]{36 (x + 8)}}^{3}$ を $36 (x + 8)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{36 (x + 8)}$ を ${(36 (x + 8))}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{({(36 (x + 8))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{6^{3}}) - 8$

ステップ 5.3.3.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 8))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{6^{3}}) - 8$

ステップ 5.3.3.2.1.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 8))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 8$

ステップ 5.3.3.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 8))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 8$

ステップ 5.3.3.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6^{3}}) - 8$

ステップ 5.3.3.2.1.5

簡約します。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6^{3}}) - 8$

ステップ 5.3.3.2.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36 \cdot 8}{6^{3}}) - 8$

ステップ 5.3.3.2.3

$36$ に $8$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 288}{6^{3}}) - 8$

ステップ 5.3.3.2.4

$36$ を $36 x + 288$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.4.1

$36$ を $36 x$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x) + 288}{6^{3}}) - 8$

ステップ 5.3.3.2.4.2

$36$ を $288$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36 \cdot 8}{6^{3}}) - 8$

ステップ 5.3.3.2.4.3

$36$ を $36 x + 36 \cdot 8$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6^{3}}) - 8$

ステップ 5.3.3.3

$6$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{216}) - 8$

ステップ 5.3.3.4

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.4.1

$6$ を $216$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6 (36)}) - 8$

ステップ 5.3.3.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6 \cdot 36}) - 8$

ステップ 5.3.3.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = \frac{36 (x + 8)}{36} - 8$

ステップ 5.3.3.5

$36$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = \frac{36 (x + 8)}{36} - 8$

ステップ 5.3.3.5.2

$x + 8$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = x + 8 - 8$

ステップ 5.3.4

$x + 8 - 8$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$8$ から $8$ を引きます。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$ は $f (x) = 6 x^{3} - 8$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$

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