微分積分学準備例

$h (x) = \log_{7} (x)$

ステップ 1

$h (x) = \log_{7} (x)$ を方程式で書きます。

$y = \log_{7} (x)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \log_{7} (y)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\log_{7} (y) = x$ として書き換えます。

$\log_{7} (y) = x$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\log_{7} (y) = x$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$7^{x} = y$

ステップ 3.3

方程式を $y = 7^{x}$ として書き換えます。

$y = 7^{x}$

ステップ 4

$y$ を $h^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$h^{- 1} (x) = 7^{x}$

ステップ 5

$h^{- 1} (x) = 7^{x}$ が $h (x) = \log_{7} (x)$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $h^{- 1} (h (x)) = x$ と $h (h^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$h^{- 1} (h (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$h^{- 1} (h (x))$

ステップ 5.2.2

$h^{- 1}$ に $h$ の値を代入し、 $h^{- 1} (\log_{7} (x))$ の値を求めます。

$h^{- 1} (\log_{7} (x)) = 7^{\log_{7} (x)}$

ステップ 5.2.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$h^{- 1} (\log_{7} (x)) = x$

ステップ 5.3

$h (h^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$h (h^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$h$ に $h^{- 1}$ の値を代入し、 $h (7^{x})$ の値を求めます。

$h (7^{x}) = \log_{7} (7^{x})$

ステップ 5.3.3

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$h (7^{x}) = x \log_{7} (7)$

ステップ 5.3.4

$7$ の対数の底 $7$ は $1$ です。

$h (7^{x}) = x \cdot 1$

ステップ 5.3.5

$x$ に $1$ をかけます。

$h (7^{x}) = x$

ステップ 5.4

$h^{- 1} (h (x)) = x$ と $h (h^{- 1} (x)) = x$ なので、 $h^{- 1} (x) = 7^{x}$ は $h (x) = \log_{7} (x)$ の逆です。

$h^{- 1} (x) = 7^{x}$

微分積分学準備 例

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