微分積分学準備例

$f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{3 - 8 y^{3}}{2}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{3 - 8 y^{3}}{2} = x$ として書き換えます。

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} = x$

ステップ 3.2

両辺に $2$ を掛けます。

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

ステップ 3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

ステップ 3.3.1.1.1.2

式を書き換えます。

$3 - 8 y^{3} = x \cdot 2$

ステップ 3.3.1.1.2

$3$ と $- 8 y^{3}$ を並べ替えます。

$- 8 y^{3} + 3 = x \cdot 2$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$- 8 y^{3} + 3 = 2 x$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- 8 y^{3} = 2 x - 3$

ステップ 3.4.2

$- 8 y^{3} = 2 x - 3$ の各項を $- 8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$- 8 y^{3} = 2 x - 3$ の各項を $- 8$ で割ります。

$\frac{- 8 y^{3}}{- 8} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$- 8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 8 y^{3}}{- 8} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$y^{3}$ を $1$ で割ります。

$y^{3} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

ステップ 3.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1.1

$2$ と $- 8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$y^{3} = \frac{2 (x)}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

ステップ 3.4.2.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1.1.2.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$y^{3} = \frac{2 x}{2 \cdot - 4} + \frac{- 3}{- 8}$

ステップ 3.4.2.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y^{3} = \frac{2 x}{2 \cdot - 4} + \frac{- 3}{- 8}$

ステップ 3.4.2.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y^{3} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 3}{- 8}$

ステップ 3.4.2.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y^{3} = - \frac{x}{4} + \frac{- 3}{- 8}$

ステップ 3.4.2.3.1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y^{3} = - \frac{x}{4} + \frac{3}{8}$

ステップ 3.4.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{4} + \frac{3}{8}}$

ステップ 3.4.4

$\sqrt[3]{- \frac{x}{4} + \frac{3}{8}}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.4.1

$- \frac{x}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{8}}$

ステップ 3.4.4.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.4.4.2.1

$\frac{x}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{- \frac{x \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3}{8}}$

ステップ 3.4.4.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{- \frac{x \cdot 2}{8} + \frac{3}{8}}$

ステップ 3.4.4.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{- x \cdot 2 + 3}{8}}$

ステップ 3.4.4.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 2 x + 3}{8}}$

ステップ 3.4.4.5

$\frac{- 2 x + 3}{8}$ を ${(\frac{1}{2})}^{3} (- 2 x + 3)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.5.1

$- 2 x + 3$ から完全累乗 $1^{3}$ を因数分解します。

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{8}}$

ステップ 3.4.4.5.2

$8$ から完全累乗 $2^{3}$ を因数分解します。

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{2^{3} \cdot 1}}$

ステップ 3.4.4.5.3

分数 $\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{2^{3} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} (- 2 x + 3)}$

ステップ 3.4.4.6

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{- 2 x + 3}$

ステップ 3.4.4.7

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt[3]{- 2 x + 3}$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$ が $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 2 \frac{3 - 8 x^{3}}{2} + 3}}{2}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (- 1) (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) + 3}}{2}$

ステップ 5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 \cdot (- 1 \frac{3 - 8 x^{3}}{2}) + 3}}{2}$

ステップ 5.2.3.1.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 1 (3 - 8 x^{3}) + 3}}{2}$

ステップ 5.2.3.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 1 \cdot 3 - 1 (- 8 x^{3}) + 3}}{2}$

ステップ 5.2.3.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 3 - 1 (- 8 x^{3}) + 3}}{2}$

ステップ 5.2.3.4

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 3 + 8 x^{3} + 3}}{2}$

ステップ 5.2.3.5

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 0}}{2}$

ステップ 5.2.3.6

$8 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

ステップ 5.2.3.7

$8 x^{3}$ を ${(2 x)}^{3}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

ステップ 5.2.3.8

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2})$ の値を求めます。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 {(\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2})}^{3}}{2}$

ステップ 5.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{- 2 x + 3}$ を ${(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 {(\frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{2})}^{3}}{2}$

ステップ 5.3.3.2

積の法則を $\frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{({(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}}{2}$

ステップ 5.3.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1

${({(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}}{2}$

ステップ 5.3.3.3.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}}{2}$

ステップ 5.3.3.3.1.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{2^{3}}}{2}$

ステップ 5.3.3.3.2

簡約します。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{2^{3}}}{2}$

ステップ 5.3.3.4

$2$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{8}}{2}$

ステップ 5.3.3.5

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.1

$8$ を $- 8$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 8 (- 1) (\frac{- 2 x + 3}{8})}{2}$

ステップ 5.3.3.5.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 8 \cdot (- 1 \frac{- 2 x + 3}{8})}{2}$

ステップ 5.3.3.5.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 1 (- 2 x + 3)}{2}$

ステップ 5.3.3.6

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 1 (- 2 x) - 1 \cdot 3}{2}$

ステップ 5.3.3.7

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 2 x - 1 \cdot 3}{2}$

ステップ 5.3.3.8

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 2 x - 3}{2}$

ステップ 5.3.3.9

$3$ から $3$ を引きます。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x + 0}{2}$

ステップ 5.3.3.10

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.3.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$ は $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$

微分積分学準備 例

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