微分積分学準備例

$f (x) = \frac{4}{2 - x}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{4}{2 - x}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{4}{2 - x}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{4}{2 - y}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{4}{2 - y} = x$ として書き換えます。

$\frac{4}{2 - y} = x$

ステップ 3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$2 - y, 1$

ステップ 3.2.2

括弧を削除します。

$2 - y, 1$

ステップ 3.2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$2 - y$

ステップ 3.3

$\frac{4}{2 - y} = x$ の各項に $2 - y$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\frac{4}{2 - y} = x$ の各項に $2 - y$ を掛けます。

$\frac{4}{2 - y} (2 - y) = x (2 - y)$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$2 - y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{2 - y} (2 - y) = x (2 - y)$

ステップ 3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$4 = x (2 - y)$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

分配則を当てはめます。

$4 = x \cdot 2 + x (- y)$

ステップ 3.3.3.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$4 = 2 \cdot x + x (- y)$

ステップ 3.3.3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 = 2 x - x y$

ステップ 3.4

方程式を解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式を $2 x - x y = 4$ として書き換えます。

$2 x - x y = 4$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$- x y = 4 - 2 x$

ステップ 3.4.3

$- x y = 4 - 2 x$ の各項を $- x$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$- x y = 4 - 2 x$ の各項を $- x$ で割ります。

$\frac{- x y}{- x} = \frac{4}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

ステップ 3.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x y}{x} = \frac{4}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

ステップ 3.4.3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{x} = \frac{4}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

ステップ 3.4.3.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{4}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

ステップ 3.4.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{4}{x} + \frac{- 2 x}{- x}$

ステップ 3.4.3.3.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y = - \frac{4}{x} + \frac{- 2 x}{- x}$

ステップ 3.4.3.3.1.2.2

式を書き換えます。

$y = - \frac{4}{x} + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 3.4.3.3.1.2.3

$\frac{- 2}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y = - \frac{4}{x} - 1 \cdot - 2$

ステップ 3.4.3.3.1.3

$- 1 \cdot - 2$ を $- - 2$ に書き換えます。

$y = - \frac{4}{x} - - 2$

ステップ 3.4.3.3.1.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$y = - \frac{4}{x} + 2$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = - \frac{4}{x} + 2$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = - \frac{4}{x} + 2$ が $f (x) = \frac{4}{2 - x}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{4}{2 - x})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - \frac{4}{\frac{4}{2 - x}} + 2$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - (4 (\frac{2 - x}{4})) + 2$

ステップ 5.2.3.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - (4 (\frac{2 - x}{4})) + 2$

ステップ 5.2.3.2.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - (2 - x) + 2$

ステップ 5.2.3.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - 1 \cdot 2 + x + 2$

ステップ 5.2.3.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - 2 + x + 2$

ステップ 5.2.3.5

$- - x$ を掛けます。

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ステップ 5.2.3.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - 2 + 1 x + 2$

ステップ 5.2.3.5.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - 2 + x + 2$

ステップ 5.2.4

$- 2 + x + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (- \frac{4}{x} + 2)$ の値を求めます。

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{4}{2 - (- \frac{4}{x} + 2)}$

ステップ 5.3.3

$4$ と $2 - (- \frac{4}{x} + 2)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{4}{- 1 \cdot - 2 - (- \frac{4}{x} + 2)}$

ステップ 5.3.3.2

$- 1$ を $- 1 (- 2) - (- \frac{4}{x} + 2)$ で因数分解します。

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{4}{- 1 (- 2 - \frac{4}{x} + 2)}$

ステップ 5.3.3.3

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2 \cdot 2}{- 1 (- 2 - \frac{4}{x} + 2)}$

ステップ 5.3.3.4

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.4.1

$2$ を $- 1 (- 2 - \frac{4}{x} + 2)$ で因数分解します。

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (- 1 (- 1 - \frac{2}{x} + 1))}$

ステップ 5.3.3.4.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (- 1 (- 1 - \frac{2}{x} + 1))}$

ステップ 5.3.3.4.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2}{- 1 (- 1 - \frac{2}{x} + 1)}$

ステップ 5.3.4

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2}{- 1 (- \frac{2}{x} + 0)}$

ステップ 5.3.4.2

$- \frac{2}{x}$ と $0$ をたし算します。

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2}{- 1 \cdot (- 1 \frac{2}{x})}$

ステップ 5.3.4.3

指数をまとめます。

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ステップ 5.3.4.3.1

負をくくり出します。

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2}{\frac{2}{x}}$

ステップ 5.3.4.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2}{1 (\frac{2}{x})}$

ステップ 5.3.4.3.3

$\frac{2}{x}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2}{\frac{2}{x}}$

ステップ 5.3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (- \frac{4}{x} + 2) = 2 (\frac{x}{2})$

ステップ 5.3.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{4}{x} + 2) = 2 (\frac{x}{2})$

ステップ 5.3.6.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{4}{x} + 2) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = - \frac{4}{x} + 2$ は $f (x) = \frac{4}{2 - x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = - \frac{4}{x} + 2$

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