微分積分学準備例

$f (x) = {(x - 16)}^{3} - 11$

ステップ 1

$f (x) = {(x - 16)}^{3} - 11$ を方程式で書きます。

$y = {(x - 16)}^{3} - 11$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = {(y - 16)}^{3} - 11$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を ${(y - 16)}^{3} - 11 = x$ として書き換えます。

${(y - 16)}^{3} - 11 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $11$ を足します。

${(y - 16)}^{3} = x + 11$

ステップ 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 16 = \sqrt[3]{x + 11}$

ステップ 3.4

方程式の両辺に $16$ を足します。

$y = \sqrt[3]{x + 11} + 16$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 11} + 16$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 11} + 16$ が $f (x) = {(x - 16)}^{3} - 11$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} ({(x - 16)}^{3} - 11)$ の値を求めます。

$f^{- 1} ({(x - 16)}^{3} - 11) = \sqrt[3]{({(x - 16)}^{3} - 11) + 11} + 16$

ステップ 5.2.3

$\sqrt[3]{({(x - 16)}^{3} - 11) + 11} + 16$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.3.1

$- 11$ と $11$ をたし算します。

$f^{- 1} ({(x - 16)}^{3} - 11) = \sqrt[3]{{(x - 16)}^{3} + 0} + 16$

ステップ 5.2.3.2

${(x - 16)}^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} ({(x - 16)}^{3} - 11) = \sqrt[3]{{(x - 16)}^{3}} + 16$

ステップ 5.2.4

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} ({(x - 16)}^{3} - 11) = x - 16 + 16$

ステップ 5.2.5

$x - 16 + 16$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.5.1

$- 16$ と $16$ をたし算します。

$f^{- 1} ({(x - 16)}^{3} - 11) = x + 0$

ステップ 5.2.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} ({(x - 16)}^{3} - 11) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\sqrt[3]{x + 11} + 16)$ の値を求めます。

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = {((\sqrt[3]{x + 11} + 16) - 16)}^{3} - 11$

ステップ 5.3.3

${((\sqrt[3]{x + 11} + 16) - 16)}^{3} - 11$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.3.1

$16$ から $16$ を引きます。

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = {(\sqrt[3]{x + 11} + 0)}^{3} - 11$

ステップ 5.3.3.2

$\sqrt[3]{x + 11}$ と $0$ をたし算します。

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = {\sqrt[3]{x + 11}}^{3} - 11$

ステップ 5.3.4

${\sqrt[3]{x + 11}}^{3}$ を $x + 11$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x + 11}$ を ${(x + 11)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = {({(x + 11)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 11$

ステップ 5.3.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = {(x + 11)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 11$

ステップ 5.3.4.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = {(x + 11)}^{\frac{3}{3}} - 11$

ステップ 5.3.4.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = {(x + 11)}^{\frac{3}{3}} - 11$

ステップ 5.3.4.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = (x + 11) - 11$

ステップ 5.3.4.5

簡約します。

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = x + 11 - 11$

ステップ 5.3.5

$x + 11 - 11$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.5.1

$11$ から $11$ を引きます。

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = x + 0$

ステップ 5.3.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 11} + 16$ は $f (x) = {(x - 16)}^{3} - 11$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 11} + 16$

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