微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式に $y^{2} + y - 2$ を掛けます。

$(y^{2} + y - 2) (x) = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} x + y x - 2 x = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$(\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 y + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

ステップ 3.3.1.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

ステップ 3.3.1.1.3

多項式を書き換えます。

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

ステップ 3.3.1.1.4

$a = y$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

ステップ 3.3.1.2

たすき掛けを利用して $y^{2} + y - 2$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $1$ です。

$- 1, 2$

ステップ 3.3.1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)} (y^{2} + y - 2)$

ステップ 3.3.1.3

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)}$ に $y^{2} + y - 2$ をかけます。

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y^{2} + y - 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

ステップ 3.3.1.4

たすき掛けを利用して $y^{2} + y - 2$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $1$ です。

$- 1, 2$

ステップ 3.3.1.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} ((y - 1) (y + 2))}{(y - 1) (y + 2)}$

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

ステップ 3.3.1.5

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.5.1

$y - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.5.1.1

共通因数を約分します。

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

ステップ 3.3.1.5.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

ステップ 3.3.1.5.2

$y + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.5.2.1

共通因数を約分します。

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

ステップ 3.3.1.5.2.2

${(y + 1)}^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} x + y x - 2 x = {(y + 1)}^{2}$

ステップ 3.3.1.5.3

${(y + 1)}^{2}$ を $(y + 1) (y + 1)$ に書き換えます。

$y^{2} x + y x - 2 x = (y + 1) (y + 1)$

ステップ 3.3.1.6

分配法則（FOIL法）を使って $(y + 1) (y + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.6.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} x + y x - 2 x = y (y + 1) + 1 (y + 1)$

ステップ 3.3.1.6.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)$

ステップ 3.3.1.6.3

分配則を当てはめます。

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

ステップ 3.3.1.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.7.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

ステップ 3.3.1.7.1.2

$y$ に $1$ をかけます。

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1$

ステップ 3.3.1.7.1.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1 \cdot 1$

ステップ 3.3.1.7.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1$

ステップ 3.3.1.7.2

$y$ と $y$ をたし算します。

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + 2 y + 1$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$y$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} = 2 y + 1$

ステップ 3.4.1.2

方程式の両辺から $2 y$ を引きます。

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y = 1$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y - 1 = 0$

ステップ 3.4.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4.4

$a = x - 1$ 、 $b = x - 2$ 、および $c = - 2 x - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- (x - 2) \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot ((x - 1) \cdot (- 2 x - 1))}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.3

${(x - 2)}^{2}$ を $(x - 2) (x - 2)$ に書き換えます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.4

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.4.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.4.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.4.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.5.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.5.1.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.5.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.5.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.6

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.7

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.8

分配法則（FOIL法）を使って $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.8.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.8.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.8.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.9

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.9.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.9.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.9.1.2.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.9.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.9.1.3

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.9.1.4

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.9.1.5

$- 2$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.9.1.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.9.2

$4 x$ から $8 x$ を引きます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.10

$x^{2}$ と $8 x^{2}$ をたし算します。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.11

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.12

$4$ から $4$ を引きます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.13

$9 x^{2} - 8 x$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.14

$x$ を $9 x^{2} - 8 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.14.1

$x$ を $9 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.14.2

$x$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.5.14.3

$x$ を $x (9 x) + x \cdot - 8$ で因数分解します。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{- x + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.6.2

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x) + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.6.3

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.6.4

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x - 2) + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.6.5

$- 1$ を $\sqrt{x (9 x - 8)}$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.6.6

$- 1$ を $- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.6.7

$- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ を $- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.6.8

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.3

${(x - 2)}^{2}$ を $(x - 2) (x - 2)$ に書き換えます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1.4.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.4.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.4.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1.5.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.5.1.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.5.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.5.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.6

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.7

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.8

分配法則（FOIL法）を使って $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1.8.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.8.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.8.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.9

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1.9.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.9.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1.9.1.2.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.9.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.9.1.3

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.9.1.4

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.9.1.5

$- 2$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.9.1.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.9.2

$4 x$ から $8 x$ を引きます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.10

$x^{2}$ と $8 x^{2}$ をたし算します。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.11

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.12

$4$ から $4$ を引きます。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.13

$9 x^{2} - 8 x$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.14

$x$ を $9 x^{2} - 8 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1.14.1

$x$ を $9 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.14.2

$x$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.1.14.3

$x$ を $x (9 x) + x \cdot - 8$ で因数分解します。

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.2

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{- x + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x) + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.4

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.5

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x - 2) - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.6

$- 1$ を $- \sqrt{x (9 x - 8)}$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.7

$- 1$ を $- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.8

$- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ を $- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.7.9

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 3.4.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ が $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ の値域、 $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ の値域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, \infty)$

ステップ 5.3

$- \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{x (9 x - 8)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x (9 x - 8) \geq 0$

ステップ 5.3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$9 x - 8 = 0$

ステップ 5.3.2.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.3.2.3

$9 x - 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1

$9 x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$9 x - 8 = 0$

ステップ 5.3.2.3.2

$x$ について $9 x - 8 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.2.1

方程式の両辺に $8$ を足します。

$9 x = 8$

ステップ 5.3.2.3.2.2

$9 x = 8$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.2.2.1

$9 x = 8$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

ステップ 5.3.2.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.2.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

ステップ 5.3.2.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{8}{9}$

ステップ 5.3.2.4

最終解は $x (9 x - 8) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{8}{9}$

ステップ 5.3.2.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < \frac{8}{9}$

$x > \frac{8}{9}$

ステップ 5.3.2.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.6.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.6.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 5.3.2.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$(- 2) (9 (- 2) - 8) \geq 0$

ステップ 5.3.2.6.1.3

左辺 $52$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 5.3.2.6.2

区間 $0 < x < \frac{8}{9}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.6.2.1

区間 $0 < x < \frac{8}{9}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.44$

ステップ 5.3.2.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0.44$ で置き換えます。

$(0.44) (9 (0.44) - 8) \geq 0$

ステップ 5.3.2.6.2.3

左辺 $- 1.7776$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 5.3.2.6.3

区間 $x > \frac{8}{9}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.6.3.1

区間 $x > \frac{8}{9}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 5.3.2.6.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$(3) (9 (3) - 8) \geq 0$

ステップ 5.3.2.6.3.3

左辺 $57$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 5.3.2.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 真

$0 < x < \frac{8}{9}$ 偽

$x > \frac{8}{9}$ 真

$x < 0$ 真

$0 < x < \frac{8}{9}$ 偽

$x > \frac{8}{9}$ 真

ステップ 5.3.2.7

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq 0$ または $x \geq \frac{8}{9}$

ステップ 5.3.3

$\frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 (x - 1) = 0$

ステップ 5.3.4

$x$ について解きます。

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ステップ 5.3.4.1

$2 (x - 1) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.1

$2 (x - 1) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 5.3.4.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 5.3.4.1.2.1.2

$x - 1$ を $1$ で割ります。

$x - 1 = \frac{0}{2}$

ステップ 5.3.4.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x - 1 = 0$

ステップ 5.3.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5.3.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ の定義域が $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ の範囲に等しくないので、 $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ は $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ の逆ではありません。

逆はありません

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例