微分積分学準備例

$f (x) = x^{9} + 4$

ステップ 1

$f (x) = x^{9} + 4$ を方程式で書きます。

$y = x^{9} + 4$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = y^{9} + 4$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $y^{9} + 4 = x$ として書き換えます。

$y^{9} + 4 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$y^{9} = x - 4$

ステップ 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[9]{x - 4}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[9]{x - 4}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \sqrt[9]{x - 4}$ が $f (x) = x^{9} + 4$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (x^{9} + 4)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (x^{9} + 4) = \sqrt[9]{(x^{9} + 4) - 4}$

ステップ 5.2.3

$4$ から $4$ を引きます。

$f^{- 1} (x^{9} + 4) = \sqrt[9]{x^{9} + 0}$

ステップ 5.2.4

$x^{9}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (x^{9} + 4) = \sqrt[9]{x^{9}}$

ステップ 5.2.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (x^{9} + 4) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\sqrt[9]{x - 4})$ の値を求めます。

$f (\sqrt[9]{x - 4}) = {(\sqrt[9]{x - 4})}^{9} + 4$

ステップ 5.3.3

${\sqrt[9]{x - 4}}^{9}$ を $x - 4$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[9]{x - 4}$ を ${(x - 4)}^{\frac{1}{9}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt[9]{x - 4}) = {({(x - 4)}^{\frac{1}{9}})}^{9} + 4$

ステップ 5.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt[9]{x - 4}) = {(x - 4)}^{\frac{1}{9} \cdot 9} + 4$

ステップ 5.3.3.3

$\frac{1}{9}$ と $9$ をまとめます。

$f (\sqrt[9]{x - 4}) = {(x - 4)}^{\frac{9}{9}} + 4$

ステップ 5.3.3.4

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt[9]{x - 4}) = {(x - 4)}^{\frac{9}{9}} + 4$

ステップ 5.3.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt[9]{x - 4}) = (x - 4) + 4$

ステップ 5.3.3.5

簡約します。

$f (\sqrt[9]{x - 4}) = x - 4 + 4$

ステップ 5.3.4

$x - 4 + 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$f (\sqrt[9]{x - 4}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\sqrt[9]{x - 4}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt[9]{x - 4}$ は $f (x) = x^{9} + 4$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[9]{x - 4}$

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