微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x + 2}{x - 9}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{x + 2}{x - 9}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{x + 2}{x - 9}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{y + 2}{y - 9}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式に $y - 9$ を掛けます。

$(y - 9) (x) = (\frac{y + 2}{y - 9}) (y - 9)$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$y x - 9 x = (\frac{y + 2}{y - 9}) (y - 9)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$y - 9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$y x - 9 x = \frac{y + 2}{y - 9} (y - 9)$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$y x - 9 x = y + 2$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$y x - 9 x - y = 2$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $9 x$ を足します。

$y x - y = 2 + 9 x$

ステップ 3.4.3

$y$ を $y x - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$y$ を $y x$ で因数分解します。

$y (x) - y = 2 + 9 x$

ステップ 3.4.3.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y (x) + y \cdot - 1 = 2 + 9 x$

ステップ 3.4.3.3

$y$ を $y (x) + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$y (x - 1) = 2 + 9 x$

ステップ 3.4.4

$y (x - 1) = 2 + 9 x$ の各項を $x - 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$y (x - 1) = 2 + 9 x$ の各項を $x - 1$ で割ります。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{9 x}{x - 1}$

ステップ 3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{9 x}{x - 1}$

ステップ 3.4.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{2}{x - 1} + \frac{9 x}{x - 1}$

ステップ 3.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{2 + 9 x}{x - 1}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x}{x - 1}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x}{x - 1}$ が $f (x) = \frac{x + 2}{x - 9}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{2 + 9 (\frac{x + 2}{x - 9})}{(\frac{x + 2}{x - 9}) - 1}$

ステップ 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 9$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$\frac{2 + 9 \frac{x + 2}{x - 9}}{\frac{x + 2}{x - 9} - 1}$ に $\frac{x - 9}{x - 9}$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{x - 9}{x - 9} \cdot \frac{2 + 9 (\frac{x + 2}{x - 9})}{\frac{x + 2}{x - 9} - 1}$

ステップ 5.2.3.2

まとめる。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (2 + 9 (\frac{x + 2}{x - 9}))}{(x - 9) (\frac{x + 2}{x - 9} - 1)}$

ステップ 5.2.4

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) \cdot 2 + (x - 9) (9 (\frac{x + 2}{x - 9}))}{(x - 9) (\frac{x + 2}{x - 9}) + (x - 9) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.5

$x - 9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) \cdot 2 + (x - 9) (9 (\frac{x + 2}{x - 9}))}{(x - 9) (\frac{x + 2}{x - 9}) + (x - 9) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.5.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) \cdot 2 + (x - 9) (9 (\frac{x + 2}{x - 9}))}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

$x - 9$ を $(x - 9) \cdot 2 + (x - 9) \cdot 9 \frac{x + 2}{x - 9}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1.1

$x - 9$ を $(x - 9) \cdot 2$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (2) + (x - 9) (9 (\frac{x + 2}{x - 9}))}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.1.2

$x - 9$ を $(x - 9) (2) + (x - 9) (9 \frac{x + 2}{x - 9})$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (2 + 9 (\frac{x + 2}{x - 9}))}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.2

$9$ と $\frac{x + 2}{x - 9}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (2 + \frac{9 (x + 2)}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 9}{x - 9}$ を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{2 (x - 9)}{x - 9} + \frac{9 (x + 2)}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.4

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{2 (x - 9) + 9 (x + 2)}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.5

項を並べ替えます。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{9 (x + 2) + 2 (x - 9)}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.6

因数分解した形で $\frac{9 (x + 2) + 2 (x - 9)}{x - 9}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.6.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{9 x + 9 \cdot 2 + 2 (x - 9)}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.6.2

$9$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{9 x + 18 + 2 (x - 9)}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.6.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{9 x + 18 + 2 x + 2 \cdot - 9}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.6.4

$2$ に $- 9$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{9 x + 18 + 2 x - 18}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.6.5

$9 x$ と $2 x$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{11 x + 18 - 18}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.6.6

$18$ から $18$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{11 x + 0}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.6.7

$11 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{11 x}{x - 9})}{x + 2 + (x - 9) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.7

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{11 x}{x - 9})}{x + 2 + x \cdot - 1 - 9 \cdot - 1}$

ステップ 5.2.7.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{11 x}{x - 9})}{x + 2 - 1 \cdot x - 9 \cdot - 1}$

ステップ 5.2.7.3

$- 9$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{11 x}{x - 9})}{x + 2 - 1 \cdot x + 9}$

ステップ 5.2.7.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{11 x}{x - 9})}{x + 2 - x + 9}$

ステップ 5.2.7.5

$x$ から $x$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{11 x}{x - 9})}{0 + 2 + 9}$

ステップ 5.2.7.6

$0$ と $2$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{11 x}{x - 9})}{2 + 9}$

ステップ 5.2.7.7

$2$ と $9$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{(x - 9) (\frac{11 x}{x - 9})}{11}$

ステップ 5.2.8

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

$\frac{11 x}{x - 9}$ を $\frac{(x - 9) \frac{11 x}{x - 9}}{11}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{11 x}{x - 9} \cdot \frac{x - 9}{11}$

ステップ 5.2.8.2

$11$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.2.1

$11$ を $11 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{11 (x)}{x - 9} \cdot \frac{x - 9}{11}$

ステップ 5.2.8.2.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{11 x}{x - 9} \cdot \frac{x - 9}{11}$

ステップ 5.2.8.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{x}{x - 9} \cdot (x - 9)$

ステップ 5.2.8.3

$x - 9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = \frac{x}{x - 9} \cdot (x - 9)$

ステップ 5.2.8.3.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 9}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{2 + 9 x}{x - 1})$ の値を求めます。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{(\frac{2 + 9 x}{x - 1}) + 2}{(\frac{2 + 9 x}{x - 1}) - 9}$

ステップ 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$\frac{\frac{2 + 9 x}{x - 1} + 2}{\frac{2 + 9 x}{x - 1} - 9}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{2 + 9 x}{x - 1} + 2}{\frac{2 + 9 x}{x - 1} - 9}$

ステップ 5.3.3.2

まとめる。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 9 x}{x - 1} + 2)}{(x - 1) (\frac{2 + 9 x}{x - 1} - 9)}$

ステップ 5.3.4

分配則を当てはめます。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 9}$

ステップ 5.3.5

約分で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 9}$

ステップ 5.3.5.1.2

式を書き換えます。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{2 + 9 x + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 9}$

ステップ 5.3.5.2

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{2 + 9 x + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 9}$

ステップ 5.3.5.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{2 + 9 x + (x - 1) \cdot 2}{2 + 9 x + (x - 1) \cdot - 9}$

ステップ 5.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{2 + 9 x + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{2 + 9 x + (x - 1) \cdot - 9}$

ステップ 5.3.6.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{2 + 9 x + 2 \cdot x - 1 \cdot 2}{2 + 9 x + (x - 1) \cdot - 9}$

ステップ 5.3.6.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{2 + 9 x + 2 \cdot x - 2}{2 + 9 x + (x - 1) \cdot - 9}$

ステップ 5.3.6.4

$2$ から $2$ を引きます。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{9 x + 2 x + 0}{2 + 9 x + (x - 1) \cdot - 9}$

ステップ 5.3.6.5

$9 x + 2 x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{9 x + 2 x}{2 + 9 x + (x - 1) \cdot - 9}$

ステップ 5.3.6.6

$9 x$ と $2 x$ をたし算します。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{2 + 9 x + (x - 1) \cdot - 9}$

ステップ 5.3.7

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{2 + 9 x + x \cdot - 9 - 1 \cdot - 9}$

ステップ 5.3.7.2

$- 9$ を $x$ の左に移動させます。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{2 + 9 x - 9 \cdot x - 1 \cdot - 9}$

ステップ 5.3.7.3

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{2 + 9 x - 9 \cdot x + 9}$

ステップ 5.3.7.4

$2$ と $9$ をたし算します。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{9 x - 9 x + 11}$

ステップ 5.3.7.5

$9 x$ から $9 x$ を引きます。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{0 + 11}$

ステップ 5.3.7.6

$0$ と $11$ をたし算します。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{11}$

ステップ 5.3.8

$11$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{11}$

ステップ 5.3.8.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{2 + 9 x}{x - 1}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x}{x - 1}$ は $f (x) = \frac{x + 2}{x - 9}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x}{x - 1}$

微分積分学準備 例

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