微分積分学準備例

$f (x) = x^{5} - 1$

ステップ 1

$f (x) = x^{5} - 1$ を方程式で書きます。

$y = x^{5} - 1$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = y^{5} - 1$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $y^{5} - 1 = x$ として書き換えます。

$y^{5} - 1 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y^{5} = x + 1$

ステップ 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[5]{x + 1}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 1}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 1}$ が $f (x) = x^{5} - 1$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (x^{5} - 1)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (x^{5} - 1) = \sqrt[5]{(x^{5} - 1) + 1}$

ステップ 5.2.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (x^{5} - 1) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

ステップ 5.2.4

$x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (x^{5} - 1) = \sqrt[5]{x^{5}}$

ステップ 5.2.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (x^{5} - 1) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\sqrt[5]{x + 1})$ の値を求めます。

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = {(\sqrt[5]{x + 1})}^{5} - 1$

ステップ 5.3.3

${\sqrt[5]{x + 1}}^{5}$ を $x + 1$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{x + 1}$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 1$

ステップ 5.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 1$

ステップ 5.3.3.3

$\frac{1}{5}$ と $5$ をまとめます。

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{5}{5}} - 1$

ステップ 5.3.3.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{5}{5}} - 1$

ステップ 5.3.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = (x + 1) - 1$

ステップ 5.3.3.5

簡約します。

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = x + 1 - 1$

ステップ 5.3.4

$x + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 1}$ は $f (x) = x^{5} - 1$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 1}$

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