微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt[6]{x + 3}$

ステップ 1

$f (x) = \sqrt[6]{x + 3}$ を方程式で書きます。

$y = \sqrt[6]{x + 3}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt[6]{y + 3}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\sqrt[6]{y + 3} = x$ として書き換えます。

$\sqrt[6]{y + 3} = x$

ステップ 3.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を $6$ 乗します。

${\sqrt[6]{y + 3}}^{6} = x^{6}$

ステップ 3.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[6]{y + 3}$ を ${(y + 3)}^{\frac{1}{6}}$ に書き換えます。

${({(y + 3)}^{\frac{1}{6}})}^{6} = x^{6}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

${({(y + 3)}^{\frac{1}{6}})}^{6}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1.1

${({(y + 3)}^{\frac{1}{6}})}^{6}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(y + 3)}^{\frac{1}{6} \cdot 6} = x^{6}$

ステップ 3.3.2.1.1.2

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(y + 3)}^{\frac{1}{6} \cdot 6} = x^{6}$

ステップ 3.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(y + 3)}^{1} = x^{6}$

ステップ 3.3.2.1.2

簡約します。

$y + 3 = x^{6}$

ステップ 3.4

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$y = x^{6} - 3$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{6} - 3$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = x^{6} - 3$ が $f (x) = \sqrt[6]{x + 3}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = {(\sqrt[6]{x + 3})}^{6} - 3$

ステップ 5.2.3

${\sqrt[6]{x + 3}}^{6}$ を $x + 3$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[6]{x + 3}$ を ${(x + 3)}^{\frac{1}{6}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = {({(x + 3)}^{\frac{1}{6}})}^{6} - 3$

ステップ 5.2.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = {(x + 3)}^{\frac{1}{6} \cdot 6} - 3$

ステップ 5.2.3.3

$\frac{1}{6}$ と $6$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = {(x + 3)}^{\frac{6}{6}} - 3$

ステップ 5.2.3.4

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = {(x + 3)}^{\frac{6}{6}} - 3$

ステップ 5.2.3.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = (x + 3) - 3$

ステップ 5.2.3.5

簡約します。

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = x + 3 - 3$

ステップ 5.2.4

$x + 3 - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$3$ から $3$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[6]{x + 3}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (x^{6} - 3)$ の値を求めます。

$f (x^{6} - 3) = \sqrt[6]{(x^{6} - 3) + 3}$

ステップ 5.3.3

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$f (x^{6} - 3) = \sqrt[6]{x^{6} + 0}$

ステップ 5.3.4

$x^{6}$ と $0$ をたし算します。

$f (x^{6} - 3) = \sqrt[6]{x^{6}}$

ステップ 5.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (x^{6} - 3) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = x^{6} - 3$ は $f (x) = \sqrt[6]{x + 3}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = x^{6} - 3$

微分積分学準備 例

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