微分積分学準備例

$f (x) = e^{3 x - 5} - 2$

ステップ 1

$f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ を方程式で書きます。

$y = e^{3 x - 5} - 2$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = e^{3 y - 5} - 2$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $e^{3 y - 5} - 2 = x$ として書き換えます。

$e^{3 y - 5} - 2 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$e^{3 y - 5} = x + 2$

ステップ 3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{3 y - 5}) = \ln (x + 2)$

ステップ 3.4

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$3 y - 5$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{3 y - 5})$ を展開します。

$(3 y - 5) \ln (e) = \ln (x + 2)$

ステップ 3.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(3 y - 5) \cdot 1 = \ln (x + 2)$

ステップ 3.4.3

$3 y - 5$ に $1$ をかけます。

$3 y - 5 = \ln (x + 2)$

ステップ 3.5

方程式の両辺に $5$ を足します。

$3 y = \ln (x + 2) + 5$

ステップ 3.6

$3 y = \ln (x + 2) + 5$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$3 y = \ln (x + 2) + 5$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

ステップ 3.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

ステップ 3.6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ が $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

ステップ 5.2.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$\frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5} + 0)}{3} + \frac{5}{3}$

ステップ 5.2.3.1.2

$e^{3 x - 5}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5})}{3} + \frac{5}{3}$

ステップ 5.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5}) + 5}{3}$

ステップ 5.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

対数の法則を利用して指数の外に $3 x - 5$ を移動します。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \ln (e) + 5}{3}$

ステップ 5.2.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \cdot 1 + 5}{3}$

ステップ 5.2.4.3

$3 x - 5$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x - 5 + 5}{3}$

ステップ 5.2.5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

$3 x - 5 + 5$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1.1

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x + 0}{3}$

ステップ 5.2.5.1.2

$3 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

ステップ 5.2.5.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

ステップ 5.2.5.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1.1

$\frac{\ln (x + 2)}{3}$ を $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ に書き換えます。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (x + 2) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

ステップ 5.3.3.1.1.2

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ を簡約します。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

ステップ 5.3.3.1.2

$\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

ステップ 5.3.3.1.3

$\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

ステップ 5.3.3.1.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3 + 5}{3}) - 5} - 2$

ステップ 5.3.3.1.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.5.1.1

$\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.5.1.1.1

$\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ と $3$ を並べ替えます。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + 5}{3}) - 5} - 2$

ステップ 5.3.3.1.5.1.1.2

対数の中の $3$ を移動させて $3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ を簡約します。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

ステップ 5.3.3.1.5.1.2

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.5.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

ステップ 5.3.3.1.5.1.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.5.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

ステップ 5.3.3.1.5.1.2.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{1}) + 5}{3}) - 5} - 2$

ステップ 5.3.3.1.5.1.3

簡約します。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

ステップ 5.3.3.1.5.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

ステップ 5.3.3.1.5.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 5 - 5} - 2$

ステップ 5.3.3.2

$\ln (x + 2) + 5 - 5$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

$5$ から $5$ を引きます。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 0} - 2$

ステップ 5.3.3.2.2

$\ln (x + 2)$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2)} - 2$

ステップ 5.3.3.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 2 - 2$

ステップ 5.3.4

$x + 2 - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ は $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例