微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{4 x + 12}$

ステップ 1

$f (x) = \sqrt{4 x + 12}$ を方程式で書きます。

$y = \sqrt{4 x + 12}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt{4 y + 12}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\sqrt{4 y + 12} = x$ として書き換えます。

$\sqrt{4 y + 12} = x$

ステップ 3.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{4 y + 12}}^{2} = x^{2}$

ステップ 3.3

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 y + 12}$ を ${(4 y + 12)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(4 y + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

${({(4 y + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

${({(4 y + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(4 y + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(4 y + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(4 y + 12)}^{1} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

簡約します。

$4 y + 12 = x^{2}$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$4 y = x^{2} - 12$

ステップ 3.4.2

$4 y = x^{2} - 12$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$4 y = x^{2} - 12$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 12}{4}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 12}{4}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 12}{4}$

ステップ 3.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1

$- 12$ を $4$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{4} - 3$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - 3$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - 3$ が $f (x) = \sqrt{4 x + 12}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{{(\sqrt{4 x + 12})}^{2}}{4} - 3$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

$4$ を $4 x + 12$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{{\sqrt{4 (x) + 12}}^{2}}{4} - 3$

ステップ 5.2.3.1.1.2

$4$ を $12$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{{\sqrt{4 x + 4 \cdot 3}}^{2}}{4} - 3$

ステップ 5.2.3.1.1.3

$4$ を $4 x + 4 \cdot 3$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{{\sqrt{4 (x + 3)}}^{2}}{4} - 3$

ステップ 5.2.3.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{{\sqrt{2^{2} (x + 3)}}^{2}}{4} - 3$

ステップ 5.2.3.1.3

累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{{(2 \sqrt{x + 3})}^{2}}{4} - 3$

ステップ 5.2.3.1.4

積の法則を $2 \sqrt{x + 3}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{2^{2} {\sqrt{x + 3}}^{2}}{4} - 3$

ステップ 5.2.3.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 {\sqrt{x + 3}}^{2}}{4} - 3$

ステップ 5.2.3.1.6

${\sqrt{x + 3}}^{2}$ を $x + 3$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.3.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 3}$ を ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} - 3$

ステップ 5.2.3.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} - 3$

ステップ 5.2.3.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{4} - 3$

ステップ 5.2.3.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{4} - 3$

ステップ 5.2.3.1.6.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 (x + 3)}{4} - 3$

ステップ 5.2.3.1.6.5

簡約します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 (x + 3)}{4} - 3$

ステップ 5.2.3.1.7

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 x + 4 \cdot 3}{4} - 3$

ステップ 5.2.3.1.8

$4$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 x + 12}{4} - 3$

ステップ 5.2.3.1.9

$4$ を $4 x + 12$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.3.1.9.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 (x) + 12}{4} - 3$

ステップ 5.2.3.1.9.2

$4$ を $12$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 x + 4 \cdot 3}{4} - 3$

ステップ 5.2.3.1.9.3

$4$ を $4 x + 4 \cdot 3$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 (x + 3)}{4} - 3$

ステップ 5.2.3.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = \frac{4 (x + 3)}{4} - 3$

ステップ 5.2.3.2.2

$x + 3$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = x + 3 - 3$

ステップ 5.2.4

$x + 3 - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$3$ から $3$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{4 x + 12}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x^{2}}{4} - 3)$ の値を求めます。

$f (\frac{x^{2}}{4} - 3) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} - 3) + 12}$

ステップ 5.3.3

$4$ を $4 (\frac{x^{2}}{4} - 3) + 12$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.3.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{2}}{4} - 3) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} - 3) + 4 \cdot 3}$

ステップ 5.3.3.2

$4$ を $4 (\frac{x^{2}}{4} - 3) + 4 \cdot 3$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{2}}{4} - 3) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} - 3 + 3)}$

ステップ 5.3.4

数を加えて簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$f (\frac{x^{2}}{4} - 3) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 0)}$

ステップ 5.3.4.2

$\frac{x^{2}}{4}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{x^{2}}{4} - 3) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4})}$

ステップ 5.3.5

$4$ と $\frac{x^{2}}{4}$ をまとめます。

$f (\frac{x^{2}}{4} - 3) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

ステップ 5.3.6

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.3.6.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{4 x^{2}}{4}$ を約分します。

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ステップ 5.3.6.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{2}}{4} - 3) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

ステップ 5.3.6.1.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{2}}{4} - 3) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

ステップ 5.3.6.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{x^{2}}{4} - 3) = \sqrt{x^{2}}$

ステップ 5.3.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{x^{2}}{4} - 3) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - 3$ は $f (x) = \sqrt{4 x + 12}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - 3$

微分積分学準備 例

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