微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{8 x + 10}$

ステップ 1

$f (x) = \sqrt{8 x + 10}$ を方程式で書きます。

$y = \sqrt{8 x + 10}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt{8 y + 10}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\sqrt{8 y + 10} = x$ として書き換えます。

$\sqrt{8 y + 10} = x$

ステップ 3.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{8 y + 10}}^{2} = x^{2}$

ステップ 3.3

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{8 y + 10}$ を ${(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

${({(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

${({(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(8 y + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(8 y + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(8 y + 10)}^{1} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

簡約します。

$8 y + 10 = x^{2}$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$8 y = x^{2} - 10$

ステップ 3.4.2

$8 y = x^{2} - 10$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$8 y = x^{2} - 10$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 10}{8}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 10}{8}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 10}{8}$

ステップ 3.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1.1

$- 10$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1.1.1

$2$ を $- 10$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 (- 5)}{8}$

ステップ 3.4.2.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1.1.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.4.2.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.4.2.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 5}{4}$

ステップ 3.4.2.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$ が $f (x) = \sqrt{8 x + 10}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(\sqrt{8 x + 10})}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

$2$ を $8 x + 10$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.1

$2$ を $8 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{\sqrt{2 (4 x) + 10}}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.3.1.1.2

$2$ を $10$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{\sqrt{2 (4 x) + 2 (5)}}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.3.1.1.3

$2$ を $2 (4 x) + 2 (5)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{\sqrt{2 (4 x + 5)}}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.3.1.2

${\sqrt{2 (4 x + 5)}}^{2}$ を $2 (4 x + 5)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 (4 x + 5)}$ を ${(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{({(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8} - \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{2}{2}}}{8} - \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.3.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{2}{2}}}{8} - \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{8} - \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.3.1.2.5

簡約します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{8} - \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x) + 2 \cdot 5}{8} - \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.3.1.4

$4$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{8 x + 2 \cdot 5}{8} - \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.3.1.5

$2$ に $5$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{8 x + 10}{8} - \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.3.1.6

$2$ を $8 x + 10$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.6.1

$2$ を $8 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x) + 10}{8} - \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.3.1.6.2

$2$ を $10$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x) + 2 (5)}{8} - \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.3.1.6.3

$2$ を $2 (4 x) + 2 (5)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{8} - \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{2 \cdot 4} - \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{2 \cdot 4} - \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x + 5}{4} - \frac{5}{4}$

ステップ 5.2.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x + 5 - 5}{4}$

ステップ 5.2.4.2

$4 x + 5 - 5$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

$5$ から $5$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x + 0}{4}$

ステップ 5.2.4.2.2

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x}{4}$

ステップ 5.2.4.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x}{4}$

ステップ 5.2.4.3.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})$ の値を求めます。

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) + 10}$

ステップ 5.3.3

$2$ を $8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) + 10$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$2$ を $8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})) + 10}$

ステップ 5.3.3.2

$2$ を $10$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})) + 2 (5)}$

ステップ 5.3.3.3

$2$ を $2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})) + 2 (5)$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) + 5)}$

ステップ 5.3.4

分配則を当てはめます。

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8}) + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

ステップ 5.3.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{4 (2)}) + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

ステップ 5.3.5.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{4 \cdot 2}) + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

ステップ 5.3.5.3

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

ステップ 5.3.6

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

$- \frac{5}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 4 (\frac{- 5}{4}) + 5)}$

ステップ 5.3.6.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 4 (\frac{- 5}{4}) + 5)}$

ステップ 5.3.6.3

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 5 + 5)}$

ステップ 5.3.7

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 0)}$

ステップ 5.3.7.2

$\frac{x^{2}}{2}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2})}$

ステップ 5.3.8

$2$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

ステップ 5.3.9

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.9.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{2 x^{2}}{2}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.9.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

ステップ 5.3.9.1.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

ステップ 5.3.9.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{x^{2}}$

ステップ 5.3.10

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$ は $f (x) = \sqrt{8 x + 10}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

微分積分学準備 例

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