微分積分学準備例

$f (x) = 6 \log (x) - 3$

ステップ 1

$f (x) = 6 \log (x) - 3$ を方程式で書きます。

$y = 6 \log (x) - 3$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 6 \log (y) - 3$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $6 \log (y) - 3 = x$ として書き換えます。

$6 \log (y) - 3 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$6 \log (y) = x + 3$

ステップ 3.3

$6 \log (y) = x + 3$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$6 \log (y) = x + 3$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 \log (y)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 \log (y)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

ステップ 3.3.2.1.2

$\log (y)$ を $1$ で割ります。

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$3$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 (1)}{6}$

ステップ 3.3.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

ステップ 3.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

ステップ 3.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}} = y$

ステップ 3.5

方程式を $y = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ として書き換えます。

$y = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ が $f (x) = 6 \log (x) - 3$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (6 \log (x) - 3)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{6 \log (x) - 3}{6} + \frac{1}{2}}$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$6 \log (x) - 3$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.1

$3$ を $6 \log (x)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x)) - 3}{6} + \frac{1}{2}}$

ステップ 5.2.3.1.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x)) + 3 (- 1)}{6} + \frac{1}{2}}$

ステップ 5.2.3.1.3

$3$ を $3 (2 \log (x)) + 3 (- 1)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{6} + \frac{1}{2}}$

ステップ 5.2.3.1.4

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.4.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{3 (2)} + \frac{1}{2}}$

ステップ 5.2.3.1.4.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}}$

ステップ 5.2.3.1.4.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x) - 1}{2} + \frac{1}{2}}$

ステップ 5.2.3.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \log (x)$ を簡約します。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) - 1}{2} + \frac{1}{2}}$

ステップ 5.2.4

項を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) - 1 + 1}{2}}$

ステップ 5.2.4.2

$\log (x^{2}) - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.2.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) + 0}{2}}$

ステップ 5.2.4.2.2

$\log (x^{2})$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2})}{2}}$

ステップ 5.2.5

$2$ を対数の外に移動させて、 $\log (x^{2})$ を展開します。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x)}{2}}$

ステップ 5.2.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.6.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x)}{2}}$

ステップ 5.2.6.2

$\log (x)$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\log (x)}$

ステップ 5.2.7

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}})$ の値を求めます。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 \log (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) - 3$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

対数の法則を利用して指数の外に $\frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ を移動します。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 ((\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) \log (10)) - 3$

ステップ 5.3.3.2

$10$ の対数の底 $10$ は $1$ です。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 ((\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) \cdot 1) - 3$

ステップ 5.3.3.3

$\frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) - 3$

ステップ 5.3.3.4

分配則を当てはめます。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

ステップ 5.3.3.5

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.5.1

共通因数を約分します。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

ステップ 5.3.3.5.2

式を書き換えます。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

ステップ 5.3.3.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.6.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 2 (3) (\frac{1}{2}) - 3$

ステップ 5.3.3.6.2

共通因数を約分します。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2})) - 3$

ステップ 5.3.3.6.3

式を書き換えます。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 3 - 3$

ステップ 5.3.4

$x + 3 - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$3$ から $3$ を引きます。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ は $f (x) = 6 \log (x) - 3$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

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