微分積分学準備例

$f (x) = 5 + \ln (x)$

ステップ 1

$f (x) = 5 + \ln (x)$ を方程式で書きます。

$y = 5 + \ln (x)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 5 + \ln (y)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $5 + \ln (y) = x$ として書き換えます。

$5 + \ln (y) = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$\ln (y) = x - 5$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (y)} = e^{x - 5}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (y) = x - 5$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{x - 5} = y$

ステップ 3.5

方程式を $y = e^{x - 5}$ として書き換えます。

$y = e^{x - 5}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$ が $f (x) = 5 + \ln (x)$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (5 + \ln (x))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = e^{(5 + \ln (x)) - 5}$

ステップ 5.2.3

$(5 + \ln (x)) - 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.3.1

$5$ から $5$ を引きます。

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = e^{0 + \ln (x)}$

ステップ 5.2.3.2

$0$ と $\ln (x)$ をたし算します。

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = e^{\ln (x)}$

ステップ 5.2.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (e^{x - 5})$ の値を求めます。

$f (e^{x - 5}) = 5 + \ln (e^{x - 5})$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

対数の法則を利用して指数の外に $x - 5$ を移動します。

$f (e^{x - 5}) = 5 + (x - 5) \ln (e)$

ステップ 5.3.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (e^{x - 5}) = 5 + (x - 5) \cdot 1$

ステップ 5.3.3.3

$x - 5$ に $1$ をかけます。

$f (e^{x - 5}) = 5 + x - 5$

ステップ 5.3.4

$5 + x - 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$5$ から $5$ を引きます。

$f (e^{x - 5}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (e^{x - 5}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$ は $f (x) = 5 + \ln (x)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$

微分積分学準備 例

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