微分積分学準備例

$f (x) = 2 - \frac{1}{x}$

ステップ 1

$f (x) = 2 - \frac{1}{x}$ を方程式で書きます。

$y = 2 - \frac{1}{x}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 2 - \frac{1}{y}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $2 - \frac{1}{y} = x$ として書き換えます。

$2 - \frac{1}{y} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- \frac{1}{y} = x - 2$

ステップ 3.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y, 1, 1$

ステップ 3.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y$

ステップ 3.4

$- \frac{1}{y} = x - 2$ の各項に $y$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.4.1

$- \frac{1}{y} = x - 2$ の各項に $y$ を掛けます。

$- \frac{1}{y} y = x y - 2 y$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$- \frac{1}{y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{y} y = x y - 2 y$

ステップ 3.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{y} y = x y - 2 y$

ステップ 3.4.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = x y - 2 y$

ステップ 3.5

方程式を解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $x y - 2 y = - 1$ として書き換えます。

$x y - 2 y = - 1$

ステップ 3.5.2

$y$ を $x y - 2 y$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.2.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$y x - 2 y = - 1$

ステップ 3.5.2.2

$y$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$y x + y \cdot - 2 = - 1$

ステップ 3.5.2.3

$y$ を $y x + y \cdot - 2$ で因数分解します。

$y (x - 2) = - 1$

ステップ 3.5.3

$y (x - 2) = - 1$ の各項を $x - 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$y (x - 2) = - 1$ の各項を $x - 2$ で割ります。

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 1}{x - 2}$

ステップ 3.5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.2.1

$x - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 1}{x - 2}$

ステップ 3.5.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 1}{x - 2}$

ステップ 3.5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1}{x - 2}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{x - 2}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{x - 2}$ が $f (x) = 2 - \frac{1}{x}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (2 - \frac{1}{x})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (2 - \frac{1}{x}) = - \frac{1}{(2 - \frac{1}{x}) - 2}$

ステップ 5.2.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f^{- 1} (2 - \frac{1}{x}) = - \frac{1}{- \frac{1}{x} + 0}$

ステップ 5.2.3.2

$- \frac{1}{x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 - \frac{1}{x}) = - \frac{1}{- \frac{1}{x}}$

ステップ 5.2.4

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$f^{- 1} (2 - \frac{1}{x}) = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{x}}$

ステップ 5.2.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$f^{- 1} (2 - \frac{1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

ステップ 5.2.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (2 - \frac{1}{x}) = 1 x$

ステップ 5.2.6

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (2 - \frac{1}{x}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (- \frac{1}{x - 2})$ の値を求めます。

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 - \frac{1}{- \frac{1}{x - 2}}$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{x - 2}}$

ステップ 5.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 + \frac{1}{\frac{1}{x - 2}}$

ステップ 5.3.3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 + 1 (x - 2)$

ステップ 5.3.3.3

$x - 2$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 + x - 2$

ステップ 5.3.3.4

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 - (- x + 2)$

ステップ 5.3.3.5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 - (- x + 2)$

ステップ 5.3.3.6

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 + x - 1 \cdot 2$

ステップ 5.3.3.7

$- - x$ を掛けます。

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ステップ 5.3.3.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 + 1 x - 1 \cdot 2$

ステップ 5.3.3.7.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 + x - 1 \cdot 2$

ステップ 5.3.3.8

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{1}{x - 2}) = 2 + x - 2$

ステップ 5.3.4

$2 + x - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f (- \frac{1}{x - 2}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (- \frac{1}{x - 2}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{x - 2}$ は $f (x) = 2 - \frac{1}{x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{x - 2}$

微分積分学準備 例

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