微分積分学準備例

$f (x) = 3 x^{6}$

ステップ 1

$f (x) = 3 x^{6}$ を方程式で書きます。

$y = 3 x^{6}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 3 y^{6}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $3 y^{6} = x$ として書き換えます。

$3 y^{6} = x$

ステップ 3.2

$3 y^{6} = x$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$3 y^{6} = x$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y^{6}}{3} = \frac{x}{3}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y^{6}}{3} = \frac{x}{3}$

ステップ 3.2.2.1.2

$y^{6}$ を $1$ で割ります。

$y^{6} = \frac{x}{3}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt[6]{\frac{x}{3}}$

ステップ 3.4

$\sqrt[6]{\frac{x}{3}}$ を $\frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}$

$y = - \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}$

$y = \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}$

$y = - \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}$

$y = \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}$

$y = - \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}, - \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}, - \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}$ が $f (x) = 3 x^{6}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = 3 x^{6}$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}, - \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = 3 x^{6}$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[0, \infty)$

ステップ 5.3

$\frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt[6]{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 5.3.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[0, \infty)$

ステップ 5.4

$f (x) = 3 x^{6}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}, - \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}$ の定義域が $f (x) = 3 x^{6}$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}, - \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}$ の範囲が $f (x) = 3 x^{6}$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}, - \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}$ は $f (x) = 3 x^{6}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}, - \frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{3}}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例