微分積分学準備例

$f (x) = 3 e^{x}$

ステップ 1

$f (x) = 3 e^{x}$ を方程式で書きます。

$y = 3 e^{x}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 3 e^{y}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $3 e^{y} = x$ として書き換えます。

$3 e^{y} = x$

ステップ 3.2

$3 e^{y} = x$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$3 e^{y} = x$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 e^{y}}{3} = \frac{x}{3}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 e^{y}}{3} = \frac{x}{3}$

ステップ 3.2.2.1.2

$e^{y}$ を $1$ で割ります。

$e^{y} = \frac{x}{3}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{3})$

ステップ 3.4

左辺を展開します。

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ステップ 3.4.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y})$ を展開します。

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

ステップ 3.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

ステップ 3.4.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (\frac{x}{3})$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{3})$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{3})$ が $f (x) = 3 e^{x}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (3 e^{x})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (3 e^{x}) = \ln (\frac{3 e^{x}}{3})$

ステップ 5.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (3 e^{x}) = \ln (\frac{3 e^{x}}{3})$

ステップ 5.2.3.2

$e^{x}$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (3 e^{x}) = \ln (e^{x})$

ステップ 5.2.4

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$f^{- 1} (3 e^{x}) = x \ln (e)$

ステップ 5.2.5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (3 e^{x}) = x \cdot 1$

ステップ 5.2.6

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (3 e^{x}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\ln (\frac{x}{3}))$ の値を求めます。

$f (\ln (\frac{x}{3})) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

ステップ 5.3.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (\frac{x}{3})) = 3 (\frac{x}{3})$

ステップ 5.3.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\ln (\frac{x}{3})) = 3 (\frac{x}{3})$

ステップ 5.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\ln (\frac{x}{3})) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{3})$ は $f (x) = 3 e^{x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{3})$

微分積分学準備 例

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