微分積分学準備例

$f (x) = 3 x^{2} - 8 x + 2$

ステップ 1

二次関数の最小値は $x = - \frac{b}{2 a}$ で発生します。 $a$ が正の場合、関数の最小値は $f (- \frac{b}{2 a})$ です。

$f_{最小}$ $x = a x^{2} + b x + c$ は $x = - \frac{b}{2 a}$ で生じます

ステップ 2

$x = - \frac{b}{2 a}$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$a$ と $b$ の値に代入します。

$x = - \frac{- 8}{2 (3)}$

ステップ 2.2

括弧を削除します。

$x = - \frac{- 8}{2 (3)}$

ステップ 2.3

$- \frac{- 8}{2 (3)}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$x = - \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 3$ で因数分解します。

$x = - \frac{2 \cdot - 4}{2 (3)}$

ステップ 2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = - \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = - \frac{- 4}{3}$

ステップ 2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - - \frac{4}{3}$

ステップ 2.3.3

$- - \frac{4}{3}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x = 1 (\frac{4}{3})$

ステップ 2.3.3.2

$\frac{4}{3}$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4}{3}$

ステップ 3

$f (\frac{4}{3})$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $\frac{4}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{4}{3}) = 3 {(\frac{4}{3})}^{2} - 8 (\frac{4}{3}) + 2$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の法則を $\frac{4}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{4}{3}) = 3 (\frac{4^{2}}{3^{2}}) - 8 (\frac{4}{3}) + 2$

ステップ 3.2.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{4}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{2}}) - 8 (\frac{4}{3}) + 2$

ステップ 3.2.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{4}{3}) = 3 (\frac{16}{9}) - 8 (\frac{4}{3}) + 2$

ステップ 3.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.4.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (\frac{4}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (3)}) - 8 (\frac{4}{3}) + 2$

ステップ 3.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{4}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 3}) - 8 (\frac{4}{3}) + 2$

ステップ 3.2.1.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{16}{3} - 8 (\frac{4}{3}) + 2$

ステップ 3.2.1.5

$- 8 (\frac{4}{3})$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.5.1

$- 8$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{16}{3} + \frac{- 8 \cdot 4}{3} + 2$

ステップ 3.2.1.5.2

$- 8$ に $4$ をかけます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{16}{3} + \frac{- 32}{3} + 2$

ステップ 3.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{16}{3} - \frac{32}{3} + 2$

ステップ 3.2.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{4}{3}) = 2 + \frac{16 - 32}{3}$

ステップ 3.2.2.2

式を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$16$ から $32$ を引きます。

$f (\frac{4}{3}) = 2 + \frac{- 16}{3}$

ステップ 3.2.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{4}{3}) = 2 - \frac{16}{3}$

ステップ 3.2.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (\frac{4}{3}) = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

ステップ 3.2.4

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

ステップ 3.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{2 \cdot 3 - 16}{3}$

ステップ 3.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

$2$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{6 - 16}{3}$

ステップ 3.2.6.2

$6$ から $16$ を引きます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{- 10}{3}$

ステップ 3.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{4}{3}) = - \frac{10}{3}$

ステップ 3.2.8

最終的な答えは $- \frac{10}{3}$ です。

$- \frac{10}{3}$

ステップ 4

$x$ 値と $y$ 値を利用し、最小値が発生する場所を求めます。

$(\frac{4}{3}, - \frac{10}{3})$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例