微分積分学準備例

$g (x) = 2 x^{2} + 6 x + 3$

ステップ 1

二次関数の最小値は $x = - \frac{b}{2 a}$ で発生します。 $a$ が正の場合、関数の最小値は $f (- \frac{b}{2 a})$ です。

$f_{最小}$ $x = a x^{2} + b x + c$ は $x = - \frac{b}{2 a}$ で生じます

ステップ 2

$x = - \frac{b}{2 a}$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$a$ と $b$ の値に代入します。

$x = - \frac{6}{2 (2)}$

ステップ 2.2

括弧を削除します。

$x = - \frac{6}{2 (2)}$

ステップ 2.3

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1

$2$ を $2 \cdot 2$ で因数分解します。

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 (2)}$

ステップ 2.3.2.2

共通因数を約分します。

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.3.2.3

式を書き換えます。

$x = - \frac{3}{2}$

ステップ 3

$f (- \frac{3}{2})$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $- \frac{3}{2}$ で置換えます。

$g (- \frac{3}{2}) = 2 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$g (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

ステップ 3.2.1.1.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$g (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

ステップ 3.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

ステップ 3.2.1.3

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

ステップ 3.2.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2^{2}}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

ステップ 3.2.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{4}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

ステップ 3.2.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.6.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2 (2)}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

ステップ 3.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2 \cdot 2}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

ステップ 3.2.1.6.3

式を書き換えます。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

ステップ 3.2.1.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.7.1

$- \frac{3}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 6 (\frac{- 3}{2}) + 3$

ステップ 3.2.1.7.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 2 (3) (\frac{- 3}{2}) + 3$

ステップ 3.2.1.7.3

共通因数を約分します。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2})) + 3$

ステップ 3.2.1.7.4

式を書き換えます。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 3 \cdot - 3 + 3$

ステップ 3.2.1.8

$3$ に $- 3$ をかけます。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} - 9 + 3$

ステップ 3.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 3.2.2.1

$- 9$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9}{1} + 3$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{- 9}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{2}{2} + 3$

ステップ 3.2.2.3

$\frac{- 9}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + 3$

ステップ 3.2.2.4

$3$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1}$

ステップ 3.2.2.5

$\frac{3}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 3.2.2.6

$\frac{3}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 3 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$- 9$ に $2$ をかけます。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 + 3 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2.4.2

$3$ に $2$ をかけます。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 + 6}{2}$

ステップ 3.2.5

式を簡約します。

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ステップ 3.2.5.1

$9$ から $18$ を引きます。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 6}{2}$

ステップ 3.2.5.2

$- 9$ と $6$ をたし算します。

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3}{2}$

ステップ 3.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$g (- \frac{3}{2}) = - \frac{3}{2}$

ステップ 3.2.6

最終的な答えは $- \frac{3}{2}$ です。

$- \frac{3}{2}$

ステップ 4

$x$ 値と $y$ 値を利用し、最小値が発生する場所を求めます。

$(- \frac{3}{2}, - \frac{3}{2})$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例