微分積分学準備例

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 4 x$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot {(x + h)}^{2} + 4 (x + h)$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1.1

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot ((x + h) (x + h)) + 4 (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + h) + h (x + h)) + 4 (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 4 (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 4 (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.1.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 4 (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.3.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 4 (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.3.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

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ステップ 2.1.2.1.3.2.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 4 (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.3.2.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 4 (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.4

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + 4 (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.5

簡約します。

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ステップ 2.1.2.1.5.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + 4 (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.1.5.2.1

$2$ を $2 h x$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + 4 (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + 4 (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.5.2.3

式を書き換えます。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{1}{2} h^{2} + 4 (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $h^{2}$ をまとめます。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + 4 (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.6

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + 4 x + 4 h$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + 4 x + 4 h$ です。

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + 4 x + 4 h$

ステップ 2.2

並べ替えます。

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ステップ 2.2.1

$4 x$ を移動させます。

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + 4 h + 4 x$

ステップ 2.2.2

$\frac{x^{2}}{2}$ を移動させます。

$h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + 4 h + 4 x$

ステップ 2.2.3

$h x$ と $\frac{h^{2}}{2}$ を並べ替えます。

$\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 4 h + 4 x$

ステップ 2.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 4 h + 4 x$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 4 h + 4 x$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 4 h + 4 x - (\frac{x^{2}}{2} + 4 x)}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 4 h + 4 x - \frac{x^{2}}{2} - (4 x)}{h}$

ステップ 4.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 4 h + 4 x - \frac{x^{2}}{2} - 4 x}{h}$

ステップ 4.1.3

$\frac{x^{2}}{2}$ から $\frac{x^{2}}{2}$ を引きます。

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 4 h + 4 x + 0 - 4 x}{h}$

ステップ 4.1.4

$\frac{h^{2}}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 4 h + 4 x - 4 x}{h}$

ステップ 4.1.5

$4 x$ から $4 x$ を引きます。

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 4 h + 0}{h}$

ステップ 4.1.6

$\frac{h^{2}}{2} + h x + 4 h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 4 h}{h}$

ステップ 4.1.7

$h$ を $\frac{h^{2}}{2} + h x + 4 h$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.7.1

$h$ を $\frac{h^{2}}{2}$ で因数分解します。

$\frac{h \frac{h}{2} + h x + 4 h}{h}$

ステップ 4.1.7.2

$h$ を $h x$ で因数分解します。

$\frac{h (\frac{h}{2}) + h (x) + 4 h}{h}$

ステップ 4.1.7.3

$h$ を $4 h$ で因数分解します。

$\frac{h (\frac{h}{2}) + h (x) + h \cdot 4}{h}$

ステップ 4.1.7.4

$h$ を $h (\frac{h}{2}) + h (x)$ で因数分解します。

$\frac{h (\frac{h}{2} + x) + h \cdot 4}{h}$

ステップ 4.1.7.5

$h$ を $h (\frac{h}{2} + x) + h \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{h (\frac{h}{2} + x + 4)}{h}$

ステップ 4.1.8

$x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{h (\frac{h}{2} + x \cdot \frac{2}{2} + 4)}{h}$

ステップ 4.1.9

$x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{h (\frac{h}{2} + \frac{x \cdot 2}{2} + 4)}{h}$

ステップ 4.1.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{h (\frac{h + x \cdot 2}{2} + 4)}{h}$

ステップ 4.1.11

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{h (\frac{h + 2 x}{2} + 4)}{h}$

ステップ 4.1.12

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{h (\frac{h + 2 x}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2})}{h}$

ステップ 4.1.13

$4$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{h (\frac{h + 2 x}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2})}{h}$

ステップ 4.1.14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{h \frac{h + 2 x + 4 \cdot 2}{2}}{h}$

ステップ 4.1.15

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{h \frac{h + 2 x + 8}{2}}{h}$

ステップ 4.2

$h$ と $\frac{h + 2 x + 8}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{h (h + 2 x + 8)}{2}}{h}$

ステップ 4.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{h (h + 2 x + 8)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.4

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{h (h + 2 x + 8)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{h + 2 x + 8}{2}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

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