微分積分学準備例

$f (x) = \frac{4 x - 2}{3 x}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{4 (x + h) - 2}{3 (x + h)}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1.1

$2$ を $4 (x + h) - 2$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1.1.1

$2$ を $4 (x + h)$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) - 2}{3 (x + h)}$

ステップ 2.1.2.1.1.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) + 2 (- 1)}{3 (x + h)}$

ステップ 2.1.2.1.1.3

$2$ を $2 (2 (x + h)) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - 1)}{3 (x + h)}$

ステップ 2.1.2.1.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$ です。

$\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

$f (x) = \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$

$f (x + h) = \frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

$f (x) = \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)} - (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}}{h}$

ステップ 4.1.2

$- \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + h}{x + h}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 (2 x - 1)}{3 x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

ステップ 4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $3 (x + h) x$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.3.1

$\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x}{3 (x + h) x} - \frac{2 (2 x - 1)}{3 x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

ステップ 4.1.3.2

$\frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$ に $\frac{x + h}{x + h}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x}{3 (x + h) x} - \frac{2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.3.3

$3 (x + h) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x}{3 x (x + h)} - \frac{2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x - 2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5

因数分解した形で $\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x - 2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}$ を書き換えます。

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ステップ 4.1.5.1

$2$ を $2 (2 x + 2 h - 1) x - 2 (2 x - 1) (x + h)$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.5.1.1

$2$ を $2 (2 x + 2 h - 1) x$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 ((2 x + 2 h - 1) x) - 2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.2

$2$ を $- 2 (2 x - 1) (x + h)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 ((2 x + 2 h - 1) x) + 2 (- (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.3

$2$ を $2 ((2 x + 2 h - 1) x) + 2 (- (2 x - 1) (x + h))$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 ((2 x + 2 h - 1) x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{2 (2 x \cdot x + 2 h x - 1 x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3

簡約します。

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ステップ 4.1.5.3.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.1.5.3.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\frac{2 (2 (x \cdot x) + 2 h x - 1 x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - 1 x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x + (- (2 x) - - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x + (- 2 x - - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x + (- 2 x + 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.7

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 x + 1) (x + h)$ を展開します。

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ステップ 4.1.5.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x (x + h) + 1 (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x \cdot x - 2 x h + 1 (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x \cdot x - 2 x h + 1 x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.8

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.5.8.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.1.5.8.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 (x \cdot x) - 2 x h + 1 x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.8.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x^{2} - 2 x h + 1 x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.8.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x^{2} - 2 x h + x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.8.3

$h$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x^{2} - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.9

$2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{\frac{2 (2 h x - x + 0 - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.10

$2 h x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 (2 h x - x - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.11

$2 h x$ から $2 x h$ を引きます。

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ステップ 4.1.5.11.1

$h$ を移動させます。

$\frac{\frac{2 (- x + 2 x h - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.11.2

$2 x h$ から $2 x h$ を引きます。

$\frac{\frac{2 (- x + 0 + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.12

$- x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 (- x + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.13

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 (0 + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.14

$0$ と $h$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 h}{3 x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2 h}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$h$ を $2 h$ で因数分解します。

$\frac{h \cdot 2}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{h \cdot 2}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{3 x (x + h)}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

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