微分積分学準備例

$f (x) = x^{3} + 2 x + 2$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} + 2 (x + h) + 2$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1.1

二項定理を利用します。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 (x + h) + 2$

ステップ 2.1.2.1.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h + 2$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h + 2$ です。

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h + 2$

ステップ 2.2

並べ替えます。

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ステップ 2.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h + 2$

ステップ 2.2.2

$x$ を移動させます。

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 2 x + 2 h + 2$

ステップ 2.2.3

$2 x$ を移動させます。

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 2 h + 2 x + 2$

ステップ 2.2.4

$x^{3}$ を移動させます。

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2$

ステップ 2.2.5

$3 h x^{2}$ を移動させます。

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2$

ステップ 2.2.6

$3 h^{2} x$ と $h^{3}$ を並べ替えます。

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2$

ステップ 2.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2$

$f (x) = x^{3} + 2 x + 2$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2$

$f (x) = x^{3} + 2 x + 2$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2 - (x^{3} + 2 x + 2)}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2 - x^{3} - (2 x) - 1 \cdot 2}{h}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2 - x^{3} - 2 x - 1 \cdot 2}{h}$

ステップ 4.1.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x + 2 - x^{3} - 2 x - 2}{h}$

ステップ 4.1.3

$x^{3}$ から $x^{3}$ を引きます。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 2 x + 2 + 0 - 2 x - 2}{h}$

ステップ 4.1.4

$h^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 2 x + 2 - 2 x - 2}{h}$

ステップ 4.1.5

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 0 + 2 - 2}{h}$

ステップ 4.1.6

$h^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 2 - 2}{h}$

ステップ 4.1.7

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 0}{h}$

ステップ 4.1.8

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h}{h}$

ステップ 4.1.9

$h$ を $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.9.1

$h$ を $h^{3}$ で因数分解します。

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h}{h}$

ステップ 4.1.9.2

$h$ を $3 h^{2} x$ で因数分解します。

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} + 2 h}{h}$

ステップ 4.1.9.3

$h$ を $3 h x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + 2 h}{h}$

ステップ 4.1.9.4

$h$ を $2 h$ で因数分解します。

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot 2}{h}$

ステップ 4.1.9.5

$h$ を $h (h^{2}) + h (3 h x)$ で因数分解します。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot 2}{h}$

ステップ 4.1.9.6

$h$ を $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot 2}{h}$

ステップ 4.1.9.7

$h$ を $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2)}{h}$

ステップ 4.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 4.2.1

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2)}{h}$

ステップ 4.2.1.2

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2$ を $1$ で割ります。

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2$

ステップ 4.2.2

式を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$h$ を移動させます。

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} + 2$

ステップ 4.2.2.2

$h^{2}$ を移動させます。

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} + 2$

ステップ 4.2.2.3

$3 x h$ と $3 x^{2}$ を並べ替えます。

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} + 2$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例