微分積分学準備例

$f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{(x + h) - 1}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

括弧を削除します。

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$ です。

$\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h - 1} - (\frac{2 x}{x - 1})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 (x + h)}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x}{x - 1}}{h}$

ステップ 4.1.2

$- \frac{2 x}{x - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 (x + h)}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

ステップ 4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + h - 1) (x - 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.3.1

$\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

ステップ 4.1.3.2

$\frac{2 x}{x - 1}$ に $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{2 x (x + h - 1)}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.3.3

$(x - 1) (x + h - 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1) - 2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5

因数分解した形で $\frac{2 (x + h) (x - 1) - 2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$ を書き換えます。

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ステップ 4.1.5.1

$2$ を $2 (x + h) (x - 1) - 2 x (x + h - 1)$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.5.1.1

$2$ を $2 (x + h) (x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 ((x + h) (x - 1)) - 2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.2

$2$ を $- 2 x (x + h - 1)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 ((x + h) (x - 1)) + 2 (- x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.3

$2$ を $2 ((x + h) (x - 1)) + 2 (- x (x + h - 1))$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 ((x + h) (x - 1) - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 4.1.5.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{2 (x (x - 1) + h (x - 1) - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 + h (x - 1) - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.5.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.4

$- 1$ を $h$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - 1 \cdot h - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.5

$- 1 h$ を $- h$ に書き換えます。

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x \cdot x - x h - x \cdot - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5

簡約します。

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ステップ 4.1.5.5.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.1.5.5.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - (x \cdot x) - x h - x \cdot - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h - x \cdot - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5.2

$- x \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 4.1.5.5.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h + 1 x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h + x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{\frac{2 (- x + h x - h + 0 - x h + x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.7

$- x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 (- x + h x - h - x h + x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.8

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 (h x - h - x h + 0)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.9

$h x - h - x h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 (h x - h - x h)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.10

$h x$ から $x h$ を引きます。

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ステップ 4.1.5.10.1

$h$ と $x$ を並べ替えます。

$\frac{\frac{2 (- h + x h - x h)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.10.2

$x h$ から $x h$ を引きます。

$\frac{\frac{2 (- h + 0)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.11

$- h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 \cdot - 1 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.12

指数をまとめます。

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ステップ 4.1.5.12.1

負をくくり出します。

$\frac{\frac{- (2 h)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.12.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{- 2 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- \frac{2 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{2 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$- \frac{2 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 2 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.2

$h$ を $- 2 h$ で因数分解します。

$\frac{h \cdot - 2}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{h \cdot - 2}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.4

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{(x + h - 1) (x - 1)}$

ステップ 4.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{(x + h - 1) (x - 1)}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

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