微分積分学準備例

$x^{4} + y^{3} = 264$ , $3 x^{4} + 5 y^{3} = 808$

ステップ 1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x^{4}$ と $y^{3}$ を並べ替えます。

$y^{3} + x^{4} = 264$

$3 x^{4} + 5 y^{3} = 808$

$y^{3} + x^{4} = 264$

$3 x^{4} + 5 y^{3} = 808$

ステップ 2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$3 x^{4}$ と $5 y^{3}$ を並べ替えます。

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$y^{3} + x^{4} = 264$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$y^{3} + x^{4} = 264$

ステップ 3

各方程式に $x^{4}$ の係数が反対になるような値を掛けます。

$- 3 \cdot (y^{3} + x^{4}) = (- 3) (264)$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = (- 3) (264)$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = (- 3) (264)$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 3$ に $264$ をかけます。

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = - 792$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = - 792$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

$- 3 y^{3} - 3 x^{4} = - 792$

$5 y^{3} + 3 x^{4} = 808$

ステップ 5

2つの方程式を加え、 $x^{4}$ を方程式から消去します。

	$-$	$3$	$y^{3}$	$-$	$3$	$x^{4}$	$=$	$-$	$7$	$9$	$2$
$+$		$5$	$y^{3}$	$+$	$3$	$x^{4}$	$=$		$8$	$0$	$8$
		$2$	$y^{3}$				$=$			$1$	$6$

ステップ 6

$2 y^{3} = 16$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$2 y^{3} = 16$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{16}{2}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{16}{2}$

ステップ 6.2.1.2

$y^{3}$ を $1$ で割ります。

$y^{3} = \frac{16}{2}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$16$ を $2$ で割ります。

$y^{3} = 8$

ステップ 7

$y^{3}$ を求めた値を $x^{4}$ を解いた元の方程式の1つに代入します。

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ステップ 7.1

$y^{3}$ を求めた値を $x^{4}$ を解いた元の方程式の1つに代入します。

$- 3 \cdot 8 - 3 x^{4} = - 792$

ステップ 7.2

$- 3$ に $8$ をかけます。

$- 24 - 3 x^{4} = - 792$

ステップ 7.3

$x^{4}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 7.3.1

方程式の両辺に $24$ を足します。

$- 3 x^{4} = - 792 + 24$

ステップ 7.3.2

$- 792$ と $24$ をたし算します。

$- 3 x^{4} = - 768$

ステップ 7.4

$- 3 x^{4} = - 768$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.4.1

$- 3 x^{4} = - 768$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 768}{- 3}$

ステップ 7.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 768}{- 3}$

ステップ 7.4.2.1.2

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$x^{4} = \frac{- 768}{- 3}$

ステップ 7.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.3.1

$- 768$ を $- 3$ で割ります。

$x^{4} = 256$

ステップ 8

独立連立方程式の最終解です。

$y^{3} = 8$

$x^{4} = 256$

ステップ 9

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$y^{3} - 8 = 0$

$x^{4} = 256$

ステップ 10

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 10.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$y^{3} - 2^{3} = 0$

$x^{4} = 256$

ステップ 10.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 2$ です。

$(y - 2) (y^{2} + y \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

$x^{4} = 256$

ステップ 10.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$(y - 2) (y^{2} + 2 \cdot y + 2^{2}) = 0$

$x^{4} = 256$

ステップ 10.3.2

$2$ に $y$ をかけます。

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 2^{2}) = 0$

$x^{4} = 256$

ステップ 10.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

$x^{4} = 256$

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

$x^{4} = 256$

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

$x^{4} = 256$

ステップ 11

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$y - 2 = 0$

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

$x^{4} = 256$

ステップ 12

$y - 2$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$y - 2$ が $0$ に等しいとします。

$y - 2 = 0$

$x^{4} = 256$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$y = 2$

$x^{4} = 256$

$y = 2$

$x^{4} = 256$

ステップ 13

$y^{2} + 2 y + 4$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$y^{2} + 2 y + 4$ が $0$ に等しいとします。

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2

$y$ について $y^{2} + 2 y + 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.2

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.3.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.3.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.3.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.3.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.3.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.3.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.4.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.4.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.4.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.4.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.4.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.4.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.4.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = - 1 + i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 + i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.5.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.5.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.5.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.5.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.5.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.5.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.5.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

ステップ 13.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

ステップ 14

最終解は $(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x^{4} = 256$

ステップ 15

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{256}$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 16

$\pm \sqrt[4]{256}$ を簡約します。

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ステップ 16.1

$256$ を $4^{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[4]{4^{4}}$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 16.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x = \pm 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 17

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 17.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 17.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4, - 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$x = 4, - 4$

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 18

最終的な結果は、 $x$ のすべての値と $y$ のすべての値の組み合わせです。

$(4, 2), (4, - 1 + i \sqrt{3}), (4, - 1 - i \sqrt{3}), (- 4, 2), (- 4, - 1 + i \sqrt{3}), (- 4, - 1 - i \sqrt{3})$

ステップ 19

微分積分学準備 例

微分積分学準備例