微分積分学準備例

$x^{2} + y^{2} = 2$ , $x y = 1$

ステップ 1

$x y = 1$ の各項を $y$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$x y = 1$ の各項を $y$ で割ります。

$\frac{x y}{y} = \frac{1}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 2$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{y} = \frac{1}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 2$

ステップ 1.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 2$

$x = \frac{1}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 2$

$x = \frac{1}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 2$

$x = \frac{1}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 2$

ステップ 2

各方程式の $x$ のすべての発生を $\frac{1}{y}$ で置き換えます。

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ステップ 2.1

$x^{2} + y^{2} = 2$ の $x$ のすべての発生を $\frac{1}{y}$ で置き換えます。

${(\frac{1}{y})}^{2} + y^{2} = 2$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{y}$ に当てはめます。

$\frac{1^{2}}{y^{2}} + y^{2} = 2$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 2.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{y^{2}} + y^{2} = 2$

$x = \frac{1}{y}$

$\frac{1}{y^{2}} + y^{2} = 2$

$x = \frac{1}{y}$

$\frac{1}{y^{2}} + y^{2} = 2$

$x = \frac{1}{y}$

$\frac{1}{y^{2}} + y^{2} = 2$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 3

$\frac{1}{y^{2}} + y^{2} = 2$ の $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y^{2}, 1, 1$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 3.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

$y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 3.2

$\frac{1}{y^{2}} + y^{2} = 2$ の各項に $y^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{y^{2}} + y^{2} = 2$ の各項に $y^{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 2 y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 2 y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 3.2.2.1.1.2

式を書き換えます。

$1 + y^{2} y^{2} = 2 y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

$1 + y^{2} y^{2} = 2 y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 3.2.2.1.2

指数を足して $y^{2}$ に $y^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 + y^{2 + 2} = 2 y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 3.2.2.1.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$1 + y^{4} = 2 y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

$1 + y^{4} = 2 y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

$1 + y^{4} = 2 y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

$1 + y^{4} = 2 y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

$1 + y^{4} = 2 y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の両辺から $2 y^{2}$ を引きます。

$1 + y^{4} - 2 y^{2} = 0$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 3.3.2

$u = y^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

$u = y^{2}$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 3.3.3

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.3.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 3.3.3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 3.3.3.3

多項式を書き換えます。

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 3.3.3.4

$a = u$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(u - 1)}^{2} = 0$

$x = \frac{1}{y}$

${(u - 1)}^{2} = 0$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 3.3.4

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 3.3.5

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 3.3.6

$u = y^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$y^{2} = 1$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 3.3.7

$y$ について方程式を解きます。

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ステップ 3.3.7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{1}$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 3.3.7.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$y = \pm 1$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 3.3.7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.3.7.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = 1$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 3.3.7.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - 1$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 3.3.7.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = 1, - 1$

$x = \frac{1}{y}$

$y = 1, - 1$

$x = \frac{1}{y}$

$y = 1, - 1$

$x = \frac{1}{y}$

$y = 1, - 1$

$x = \frac{1}{y}$

$y = 1, - 1$

$x = \frac{1}{y}$

ステップ 4

各方程式の $y$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{1}{y}$ の $y$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$x = \frac{1}{1}$

$y = 1$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ を $1$ で割ります。

$x = 1$

$y = 1$

$x = 1$

$y = 1$

$x = 1$

$y = 1$

ステップ 5

各方程式の $y$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

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ステップ 5.1

$x = \frac{1}{y}$ の $y$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

$x = \frac{1}{- 1}$

$y = - 1$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

ステップ 6

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

点の形：

$(1, 1), (- 1, - 1)$

方程式の形：

$x = 1, y = 1$

$x = - 1, y = - 1$

ステップ 8

微分積分学準備 例

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