微分積分学準備例

$x^{2} + y^{2} = 9$ , $y = x^{2} - 3$

ステップ 1

各方程式の $y$ のすべての発生を $x^{2} - 3$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x^{2} + y^{2} = 9$ の $y$ のすべての発生を $x^{2} - 3$ で置き換えます。

$x^{2} + {(x^{2} - 3)}^{2} = 9$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x^{2} + {(x^{2} - 3)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.1

${(x^{2} - 3)}^{2}$ を $(x^{2} - 3) (x^{2} - 3)$ に書き換えます。

$x^{2} + (x^{2} - 3) (x^{2} - 3) = 9$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 1.2.1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} - 3) (x^{2} - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} + x^{2} (x^{2} - 3) - 3 (x^{2} - 3) = 9$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 1.2.1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 (x^{2} - 3) = 9$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 1.2.1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 1.2.1.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 1.2.1.1.3.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 1.2.1.1.3.1.2

$- 3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$x^{2} + x^{4} - 3 \cdot x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 1.2.1.1.3.1.3

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$x^{2} + x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 1.2.1.1.3.2

$- 3 x^{2}$ から $3 x^{2}$ を引きます。

$x^{2} + x^{4} - 6 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} - 6 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} - 6 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 1.2.1.2

$x^{2}$ から $6 x^{2}$ を引きます。

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$u^{2} - 5 u + 9 = 9$

$u = x^{2}$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$u^{2} - 5 u + 9 - 9 = 0$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.3

$u^{2} - 5 u + 9 - 9$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$9$ から $9$ を引きます。

$u^{2} - 5 u + 0 = 0$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.3.2

$u^{2} - 5 u$ と $0$ をたし算します。

$u^{2} - 5 u = 0$

$y = x^{2} - 3$

$u^{2} - 5 u = 0$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.4

$u$ を $u^{2} - 5 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$u$ を $u^{2}$ で因数分解します。

$u \cdot u - 5 u = 0$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.4.2

$u$ を $- 5 u$ で因数分解します。

$u \cdot u + u \cdot - 5 = 0$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.4.3

$u$ を $u \cdot u + u \cdot - 5$ で因数分解します。

$u (u - 5) = 0$

$y = x^{2} - 3$

$u (u - 5) = 0$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u = 0$

$u - 5 = 0$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.6

$u$ が $0$ に等しいとします。

$u = 0$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.7

$u - 5$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$u - 5$ が $0$ に等しいとします。

$u - 5 = 0$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.7.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$u = 5$

$y = x^{2} - 3$

$u = 5$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.8

最終解は $u (u - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 0, 5$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.9

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = 0$

$x^{2} = 5$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.10

$x$ について第1方程式を解きます。

$x^{2} = 0$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.11

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.11.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.11.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.11.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

$y = x^{2} - 3$

$x = 0$

$y = x^{2} - 3$

$x = 0$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.12

$x$ について二次方程式を解きます。

$x^{2} = 5$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.13

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.1

括弧を削除します。

$x^{2} = 5$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.13.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.13.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.13.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 2.14

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$ の解は $x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ です。

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

ステップ 3

各方程式の $x$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$y = x^{2} - 3$ の $x$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$y = {(0)}^{2} - 3$

$x = 0$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

${(0)}^{2} - 3$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 - 3$

$x = 0$

ステップ 3.2.1.2

$0$ から $3$ を引きます。

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

ステップ 4

各方程式の $x$ のすべての発生を $\sqrt{5}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$y = x^{2} - 3$ の $x$ のすべての発生を $\sqrt{5}$ で置き換えます。

$y = {(\sqrt{5})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

${(\sqrt{5})}^{2} - 3$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

ステップ 4.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

ステップ 4.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

ステップ 4.2.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

ステップ 4.2.1.1.4.2

式を書き換えます。

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

ステップ 4.2.1.1.5

指数を求めます。

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

ステップ 4.2.1.2

$5$ から $3$ を引きます。

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

ステップ 5

各方程式の $x$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$y = x^{2} - 3$ の $x$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$y = {(0)}^{2} - 3$

$x = 0$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

${(0)}^{2} - 3$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 - 3$

$x = 0$

ステップ 5.2.1.2

$0$ から $3$ を引きます。

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

ステップ 6

各方程式の $x$ のすべての発生を $\sqrt{5}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$y = x^{2} - 3$ の $x$ のすべての発生を $\sqrt{5}$ で置き換えます。

$y = {(\sqrt{5})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

ステップ 6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

${(\sqrt{5})}^{2} - 3$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

ステップ 6.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

ステップ 6.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

ステップ 6.2.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

ステップ 6.2.1.1.4.2

式を書き換えます。

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

ステップ 6.2.1.1.5

指数を求めます。

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

ステップ 6.2.1.2

$5$ から $3$ を引きます。

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

ステップ 7

各方程式の $x$ のすべての発生を $- \sqrt{5}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$y = x^{2} - 3$ の $x$ のすべての発生を $- \sqrt{5}$ で置き換えます。

$y = {(- \sqrt{5})}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

${(- \sqrt{5})}^{2} - 3$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

積の法則を $- \sqrt{5}$ に当てはめます。

$y = {(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

ステップ 7.2.1.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$y = 1 {\sqrt{5}}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

ステップ 7.2.1.1.3

${\sqrt{5}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$y = {\sqrt{5}}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

ステップ 7.2.1.1.4

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

ステップ 7.2.1.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

ステップ 7.2.1.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

ステップ 7.2.1.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

ステップ 7.2.1.1.4.4.2

式を書き換えます。

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

ステップ 7.2.1.1.4.5

指数を求めます。

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

ステップ 7.2.1.2

$5$ から $3$ を引きます。

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

ステップ 8

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(0, - 3)$

$(\sqrt{5}, 2)$

$(- \sqrt{5}, 2)$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

点の形：

$(0, - 3), (\sqrt{5}, 2), (- \sqrt{5}, 2)$

方程式の形：

$x = 0, y = - 3$

$x = \sqrt{5}, y = 2$

$x = - \sqrt{5}, y = 2$

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例