微分積分学準備例

$x^{2} y = 9$ , $x^{2} + 4 y + 12 = 0$

ステップ 1

$x^{2} y = 9$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$x^{2} y = 9$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

ステップ 1.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$

ステップ 2

各方程式の $y$ のすべての発生を $\frac{9}{x^{2}}$ で置き換えます。

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ステップ 2.1

$x^{2} + 4 y + 12 = 0$ の $y$ のすべての発生を $\frac{9}{x^{2}}$ で置き換えます。

$x^{2} + 4 (\frac{9}{x^{2}}) + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$4 (\frac{9}{x^{2}})$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1

$4$ と $\frac{9}{x^{2}}$ をまとめます。

$x^{2} + \frac{4 \cdot 9}{x^{2}} + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 2.2.1.2

$4$ に $9$ をかけます。

$x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3

$x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$ の $x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x^{2}, 1, 1$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.2

$x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.2.1

$x^{2} + \frac{36}{x^{2}} + 12 = 0$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$x^{2} x^{2} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2} + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2 + 2} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2} + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$x^{4} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2} + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2} + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.2.2.1.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{4} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2} + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0 x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$0$ に $x^{2}$ をかけます。

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x^{4} + 36 + 12 x^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$u^{2} + 12 u + 36 = 0$

$u = x^{2}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.3.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.3.2.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$u^{2} + 12 u + 6^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$12 u = 2 \cdot u \cdot 6$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.3.2.3

多項式を書き換えます。

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 6 + 6^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.3.2.4

$a = u$ と $b = 6$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(u + 6)}^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

${(u + 6)}^{2} = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.3.3

$u + 6$ が $0$ に等しいとします。

$u + 6 = 0$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.3.4

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$u = - 6$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.3.5

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = - 6$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.3.6

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 3.3.6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.3.6.2

$\pm \sqrt{- 6}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.6.2.1

$- 6$ を $- 1 (6)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 \cdot 6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.3.6.2.2

$\sqrt{- 1 (6)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.3.6.2.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

$x = \pm i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.3.6.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.3.6.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{6}$

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3.3.6.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。