微分積分学準備例

$x^{2} + y^{2} = 8$ , $y^{2} = 2 x$

ステップ 1

$y^{2} = 2 x$ の $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

ステップ 1.2

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

ステップ 1.2.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

ステップ 1.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

ステップ 2

$y = \sqrt{2 x}, x^{2} + y^{2} = 8$ 式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各方程式の $y$ のすべての発生を $\sqrt{2 x}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$x^{2} + y^{2} = 8$ の $y$ のすべての発生を $\sqrt{2 x}$ で置き換えます。

$x^{2} + {(\sqrt{2 x})}^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

ステップ 2.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

${\sqrt{2 x}}^{2}$ を $2 x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x}$ を ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x^{2} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

ステップ 2.1.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

ステップ 2.1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

ステップ 2.1.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

ステップ 2.1.2.1.4.2

式を書き換えます。

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

ステップ 2.1.2.1.5

簡約します。

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

ステップ 2.2

$x^{2} + 2 x = 8$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

ステップ 2.2.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 8$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 8$ で、その和が $2$ です。

$- 2, 4$

$y = \sqrt{2 x}$

ステップ 2.2.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

ステップ 2.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

ステップ 2.2.4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

ステップ 2.2.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

$y = \sqrt{2 x}$

$x = 2$

$y = \sqrt{2 x}$

ステップ 2.2.5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

ステップ 2.2.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

$x = - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

ステップ 2.2.6

最終解は $(x - 2) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

$x = 2, - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

ステップ 2.3

各方程式の $x$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$y = \sqrt{2 x}$ の $x$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$y = \sqrt{2 (2)}$

$x = 2$

ステップ 2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$\sqrt{2 (2)}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \sqrt{4}$

$x = 2$

ステップ 2.3.2.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \sqrt{2^{2}}$

$x = 2$

ステップ 2.3.2.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

ステップ 2.4

各方程式の $x$ のすべての発生を $- 4$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$y = \sqrt{2 x}$ の $x$ のすべての発生を $- 4$ で置き換えます。

$y = \sqrt{2 (- 4)}$

$x = - 4$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$\sqrt{2 (- 4)}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$2$ に $- 4$ をかけます。

$y = \sqrt{- 8}$

$x = - 4$

ステップ 2.4.2.1.2

$- 8$ を $- 1 (8)$ に書き換えます。

$y = \sqrt{- 1 \cdot 8}$

$x = - 4$

ステップ 2.4.2.1.3

$\sqrt{- 1 (8)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ に書き換えます。

$y = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

$x = - 4$

ステップ 2.4.2.1.4

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$y = i \cdot \sqrt{8}$

$x = - 4$

ステップ 2.4.2.1.5

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.5.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$y = i \cdot \sqrt{4 (2)}$

$x = - 4$

ステップ 2.4.2.1.5.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

$x = - 4$

$y = i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

$x = - 4$

ステップ 2.4.2.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$y = i \cdot (2 \sqrt{2})$

$x = - 4$

ステップ 2.4.2.1.7

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

ステップ 3

$y = - \sqrt{2 x}, x^{2} + y^{2} = 8$ 式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各方程式の $y$ のすべての発生を $- \sqrt{2 x}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x^{2} + y^{2} = 8$ の $y$ のすべての発生を $- \sqrt{2 x}$ で置き換えます。

$x^{2} + {(- \sqrt{2 x})}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{2 x}$ に当てはめます。

$x^{2} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{2 x}}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

ステップ 3.1.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x^{2} + 1 {\sqrt{2 x}}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

ステップ 3.1.2.1.3

${\sqrt{2 x}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + {\sqrt{2 x}}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

ステップ 3.1.2.1.4

${\sqrt{2 x}}^{2}$ を $2 x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x}$ を ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x^{2} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

ステップ 3.1.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

ステップ 3.1.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

ステップ 3.1.2.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

ステップ 3.1.2.1.4.4.2

式を書き換えます。

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

ステップ 3.1.2.1.4.5

簡約します。

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

ステップ 3.2

$x^{2} + 2 x = 8$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

ステップ 3.2.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 8$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 8$ で、その和が $2$ です。

$- 2, 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

ステップ 3.2.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

ステップ 3.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

ステップ 3.2.4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

ステップ 3.2.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x = 2$

$y = - \sqrt{2 x}$

ステップ 3.2.5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

ステップ 3.2.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x = - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

ステップ 3.2.6

最終解は $(x - 2) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x = 2, - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

ステップ 3.3

各方程式の $x$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$y = - \sqrt{2 x}$ の $x$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$y = - \sqrt{2 (2)}$

$x = 2$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$- \sqrt{2 (2)}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$y = - \sqrt{4}$

$x = 2$

ステップ 3.3.2.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = - \sqrt{2^{2}}$

$x = 2$

ステップ 3.3.2.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = - 1 \cdot 2$

$x = 2$

ステップ 3.3.2.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = - 2$

$x = 2$

$y = - 2$

$x = 2$

$y = - 2$

$x = 2$

$y = - 2$

$x = 2$

ステップ 3.4

各方程式の $x$ のすべての発生を $- 4$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$y = - \sqrt{2 x}$ の $x$ のすべての発生を $- 4$ で置き換えます。

$y = - \sqrt{2 (- 4)}$

$x = - 4$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$- \sqrt{2 (- 4)}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

$2$ に $- 4$ をかけます。

$y = - \sqrt{- 8}$

$x = - 4$

ステップ 3.4.2.1.2

$- 8$ を $- 1 (8)$ に書き換えます。

$y = - \sqrt{- 1 \cdot 8}$

$x = - 4$

ステップ 3.4.2.1.3

$\sqrt{- 1 (8)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ に書き換えます。

$y = - (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8})$

$x = - 4$

ステップ 3.4.2.1.4

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$y = - (i \cdot \sqrt{8})$

$x = - 4$

ステップ 3.4.2.1.5

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.5.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$y = - (i \cdot \sqrt{4 (2)})$

$x = - 4$

ステップ 3.4.2.1.5.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = - (i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

$x = - 4$

$y = - (i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

$x = - 4$

ステップ 3.4.2.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$y = - (i \cdot (2 \sqrt{2}))$

$x = - 4$

ステップ 3.4.2.1.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.7.1

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$y = - (2 \cdot (i \sqrt{2}))$

$x = - 4$

ステップ 3.4.2.1.7.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

ステップ 4

すべての解をまとめます。

$y = 2, x = 2$

$y = 2 i \sqrt{2}, x = - 4$

$y = - 2, x = 2$

$y = - 2 i \sqrt{2}, x = - 4$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例