微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x^{2}}{1 - x^{2}}$

ステップ 1

$\frac{x^{2}}{1 - x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$1 - x^{2} = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x^{2} = - 1$

ステップ 2.2

$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 2.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 1, - 1}$

ステップ 4

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, - 1) \cup [0, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y < - 1, y \geq 0}$

ステップ 5

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty), {x | x \neq 1, - 1}$

値域： $(- \infty, - 1) \cup [0, \infty), {y | y < - 1, y \geq 0}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例