微分積分学準備例

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = 4 (y - 1)$

ステップ 1

$y$ について解きます。

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ステップ 1.1

方程式を $4 (y - 1) = {(x + \frac{1}{2})}^{2}$ として書き換えます。

$4 (y - 1) = {(x + \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 1.2

$4 (y - 1) = {(x + \frac{1}{2})}^{2}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.1

$4 (y - 1) = {(x + \frac{1}{2})}^{2}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 (y - 1)}{4} = \frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{4}$

ステップ 1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (y - 1)}{4} = \frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{4}$

ステップ 1.2.2.1.2

$y - 1$ を $1$ で割ります。

$y - 1 = \frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{4}$

ステップ 1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

$x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y - 1 = \frac{{(x \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2}}{4}$

ステップ 1.2.3.1.2

$x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y - 1 = \frac{{(\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{2}}{4}$

ステップ 1.2.3.1.3

公分母の分子をまとめます。

$y - 1 = \frac{{(\frac{x \cdot 2 + 1}{2})}^{2}}{4}$

ステップ 1.2.3.1.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$y - 1 = \frac{{(\frac{2 x + 1}{2})}^{2}}{4}$

ステップ 1.2.3.1.5

積の法則を $\frac{2 x + 1}{2}$ に当てはめます。

$y - 1 = \frac{\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{2^{2}}}{4}$

ステップ 1.2.3.1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$y - 1 = \frac{\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4}}{4}$

ステップ 1.2.3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$y - 1 = \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 1.2.3.3

まとめる。

$y - 1 = \frac{{(2 x + 1)}^{2} \cdot 1}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.2.3.4

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.4.1

${(2 x + 1)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$y - 1 = \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.2.3.4.2

$4$ に $4$ をかけます。

$y - 1 = \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{16}$

ステップ 1.3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{16} + 1$

ステップ 2

与えられた放物線の特性を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を頂点形で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{16} \cdot {(2 x + 1)}^{2} + 1$

ステップ 2.1.2

$\frac{1}{16} \cdot {(2 x + 1)}^{2} + 1$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1.1

${(2 x + 1)}^{2}$ を $(2 x + 1) (2 x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{1}{16} \cdot ((2 x + 1) (2 x + 1)) + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 1) (2 x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{16} \cdot (2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)) + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{16} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)) + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{16} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{16} \cdot (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{1}{16} \cdot (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{1}{16} \cdot (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{16} \cdot (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.3.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{16} \cdot (4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.3.1.5

$2 x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{16} \cdot (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1) + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.3.1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{16} \cdot (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1) + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.3.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{1}{16} \cdot (4 x^{2} + 4 x + 1) + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{16} (4 x^{2}) + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1.5.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1.5.1.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 (4)} (4 x^{2}) + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.5.1.2

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 (4)} (4 (x^{2})) + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.5.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 \cdot 4} (4 x^{2}) + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.5.1.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.5.2

$\frac{1}{4}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.5.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1.5.3.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4 (4)} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.5.3.2

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4 (4)} (4 (x)) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.5.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.5.3.4

式を書き換えます。

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} x + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.5.4

$\frac{1}{4}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

ステップ 2.1.2.1.1.5.5

$\frac{1}{16}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16} + 1$

ステップ 2.1.2.1.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16} + \frac{16}{16}$

ステップ 2.1.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1 + 16}{16}$

ステップ 2.1.2.1.4

$1$ と $16$ をたし算します。

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{17}{16}$

ステップ 2.1.2.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{1}{4}$

$c = \frac{17}{16}$

ステップ 2.1.2.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.1.2.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{\frac{1}{4}}{2 (\frac{1}{4})}$

ステップ 2.1.2.4.2

$\frac{1}{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{\frac{1}{4}}{2 (\frac{1}{4})}$

ステップ 2.1.2.4.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{2}$

ステップ 2.1.2.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = \frac{17}{16} - \frac{{(\frac{1}{4})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 2.1.2.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1.2.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.2.1.1

${(\frac{1}{4})}^{2}$ と $\frac{1}{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.5.2.1.1.1

$\frac{1}{4}$ を ${(\frac{1}{4})}^{2}$ で因数分解します。

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 2.1.2.5.2.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.5.2.1.1.2.1

$\frac{1}{4}$ を $4 (\frac{1}{4})$ で因数分解します。

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} \cdot 4}$

ステップ 2.1.2.5.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} \cdot 4}$

ステップ 2.1.2.5.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

ステップ 2.1.2.5.2.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = \frac{17}{16} - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.2.5.2.1.3

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

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ステップ 2.1.2.5.2.1.3.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$e = \frac{17}{16} - \frac{1}{4 \cdot 4}$

ステップ 2.1.2.5.2.1.3.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e = \frac{17}{16} - \frac{1}{16}$

ステップ 2.1.2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{17 - 1}{16}$

ステップ 2.1.2.5.2.3

$17$ から $1$ を引きます。

$e = \frac{16}{16}$

ステップ 2.1.2.5.2.4

$16$ を $16$ で割ります。

$e = 1$

ステップ 2.1.2.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{1}{4} {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 1$ に代入します。

$\frac{1}{4} {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 1$

ステップ 2.1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 1$

ステップ 2.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{4}$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = 1$

ステップ 2.3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 2.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- \frac{1}{2}, 1)$

ステップ 2.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 2.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 2.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

ステップ 2.5.3

簡約します。

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ステップ 2.5.3.1

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

ステップ 2.5.3.2

数を割って簡約します。

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ステップ 2.5.3.2.1

$4$ を $4$ で割ります。

$\frac{1}{1}$

ステップ 2.5.3.2.2

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

ステップ 2.6

焦点を求めます。

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ステップ 2.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 2.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \frac{1}{2}, 2)$

ステップ 2.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.8

準線を求めます。

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ステップ 2.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 2.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = 0$

ステップ 2.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(- \frac{1}{2}, 1)$

焦点： $(- \frac{1}{2}, 2)$

対称軸： $x = - \frac{1}{2}$

準線： $y = 0$

方向：上に開

頂点： $(- \frac{1}{2}, 1)$

焦点： $(- \frac{1}{2}, 2)$

対称軸： $x = - \frac{1}{2}$

準線： $y = 0$

ステップ 3

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{2} + 4 (- 1) + 17}{16}$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = \frac{4 \cdot 1 + 4 (- 1) + 17}{16}$

ステップ 3.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{4 + 4 (- 1) + 17}{16}$

ステップ 3.2.1.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{4 - 4 + 17}{16}$

ステップ 3.2.1.4

$4$ から $4$ を引きます。

$f (- 1) = \frac{0 + 17}{16}$

ステップ 3.2.1.5

$0$ と $17$ をたし算します。

$f (- 1) = \frac{17}{16}$

ステップ 3.2.2

最終的な答えは $\frac{17}{16}$ です。

$\frac{17}{16}$

ステップ 3.3

$x = - 1$ における $y$ 値は $\frac{17}{16}$ です。

$y = \frac{17}{16}$

ステップ 3.4

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 17}{16}$

ステップ 3.5

結果を簡約します。

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ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = \frac{4 \cdot 4 + 4 (- 2) + 17}{16}$

ステップ 3.5.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$f (- 2) = \frac{16 + 4 (- 2) + 17}{16}$

ステップ 3.5.1.3

$4$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2) = \frac{16 - 8 + 17}{16}$

ステップ 3.5.1.4

$16$ から $8$ を引きます。

$f (- 2) = \frac{8 + 17}{16}$

ステップ 3.5.1.5

$8$ と $17$ をたし算します。

$f (- 2) = \frac{25}{16}$

ステップ 3.5.2

最終的な答えは $\frac{25}{16}$ です。

$\frac{25}{16}$

ステップ 3.6

$x = - 2$ における $y$ 値は $\frac{25}{16}$ です。

$y = \frac{25}{16}$

ステップ 3.7

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{4 {(1)}^{2} + 4 (1) + 17}{16}$

ステップ 3.8

結果を簡約します。

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ステップ 3.8.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.8.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{4 \cdot 1 + 4 (1) + 17}{16}$

ステップ 3.8.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{4 + 4 (1) + 17}{16}$

ステップ 3.8.1.3

$4$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{4 + 4 + 17}{16}$

ステップ 3.8.1.4

$4$ と $4$ をたし算します。

$f (1) = \frac{8 + 17}{16}$

ステップ 3.8.1.5

$8$ と $17$ をたし算します。

$f (1) = \frac{25}{16}$

ステップ 3.8.2

最終的な答えは $\frac{25}{16}$ です。

$\frac{25}{16}$

ステップ 3.9

$x = 1$ における $y$ 値は $\frac{25}{16}$ です。

$y = \frac{25}{16}$

ステップ 3.10

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \frac{4 {(2)}^{2} + 4 (2) + 17}{16}$

ステップ 3.11

結果を簡約します。

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ステップ 3.11.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = \frac{4 \cdot 4 + 4 (2) + 17}{16}$

ステップ 3.11.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$f (2) = \frac{16 + 4 (2) + 17}{16}$

ステップ 3.11.1.3

$4$ に $2$ をかけます。

$f (2) = \frac{16 + 8 + 17}{16}$

ステップ 3.11.1.4

$16$ と $8$ をたし算します。

$f (2) = \frac{24 + 17}{16}$

ステップ 3.11.1.5

$24$ と $17$ をたし算します。

$f (2) = \frac{41}{16}$

ステップ 3.11.2

最終的な答えは $\frac{41}{16}$ です。

$\frac{41}{16}$

ステップ 3.12

$x = 2$ における $y$ 値は $\frac{41}{16}$ です。

$y = \frac{41}{16}$

ステップ 3.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{25}{16} \\ - 1 & \frac{17}{16} \\ - \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & \frac{25}{16} \\ 2 & \frac{41}{16} \end{array}$

ステップ 4

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(- \frac{1}{2}, 1)$

焦点： $(- \frac{1}{2}, 2)$

対称軸： $x = - \frac{1}{2}$

準線： $y = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{25}{16} \\ - 1 & \frac{17}{16} \\ - \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & \frac{25}{16} \\ 2 & \frac{41}{16} \end{array}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例