微分積分学準備例

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{36} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{36} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 6$

$b = 3$

$k = 4$

$h = - 2$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(- 2, 4)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(3)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$6$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{36 - {(3)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{36 - 1 \cdot 9}$

ステップ 5.3.3

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\sqrt{36 - 9}$

ステップ 5.3.4

$36$ から $9$ を引きます。

$\sqrt{27}$

ステップ 5.3.5

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.5.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$\sqrt{9 (3)}$

ステップ 5.3.5.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{3^{2} \cdot 3}$

ステップ 5.3.6

累乗根の下から項を取り出します。

$3 \sqrt{3}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 2, 4 + 6)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(- 2, 10)$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 2, 4 - (6))$

ステップ 6.6

簡約します。

$(- 2, - 2)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(- 2, 10)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 2, 10)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2, - 2)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 2, 4 + 3 \sqrt{3})$

ステップ 7.3

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 2, 4 - (3 \sqrt{3}))$

ステップ 7.5

簡約します。

$(- 2, 4 - 3 \sqrt{3})$

ステップ 7.6

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(- 2, 4 + 3 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(- 2, 4 - 3 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(- 2, 4 + 3 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(- 2, 4 - 3 \sqrt{3})$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(3)}^{2}}}{6}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{36 - 3^{2}}}{6}$

ステップ 8.3.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 9}}{6}$

ステップ 8.3.1.3

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{\sqrt{36 - 9}}{6}$

ステップ 8.3.1.4

$36$ から $9$ を引きます。

$\frac{\sqrt{27}}{6}$

ステップ 8.3.1.5

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.1.5.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{6}$

ステップ 8.3.1.5.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{6}$

ステップ 8.3.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 \sqrt{3}}{6}$

ステップ 8.3.2

$3$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.2.1

$3$ を $3 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 (\sqrt{3})}{6}$

ステップ 8.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.2.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

ステップ 8.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

ステップ 8.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(- 2, 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 2, 10)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2, - 2)$

${Focus}_{1}$ : $(- 2, 4 + 3 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(- 2, 4 - 3 \sqrt{3})$

偏心： $\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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